Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 14 (39) - Thaùng 3/2016 
107 
 Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco 
cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị 
Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets 
ThS. Bùi Nguyên Trâm Ngọc 
Trường Đại học Đồng Nai 
M.A. Bui Nguyen Tram Ngoc 
The University of Dong Nai 
Tóm tắt 
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến 
ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này. 
Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco. 
Abstract 
In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the 
sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence. 
Keywords: random sets, Mosco convergence 
1. Mở đầu 
Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng 
cách Hausdorff được sử dụng khi nghiên 
cứu các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là các 
tập compact. Đối với biến ngẫu nhiên đa trị 
nhận giá trị là các tập đóng (có thể không 
bị chặn), người ta thường sử dụng các loại 
hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco và 
hội tụ Wijsman. Việc nghiên cứu các định 
lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị 
theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú 
vị và ý nghĩa. Trong thời gian gần đây, đã 
có nhiều tài liệu nghiên cứu về các định lí 
giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị 
theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], 
[4] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Tuy 
nhiên, cho đến nay, trong các công trình 
khoa học, khi nói đến hội tụ Mosco, người 
ta chỉ đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắc 
chắn theo nghĩa Mosco. Trong bài báo này, 
chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo 
xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến 
ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số 
tính chất của loại hội tụ này. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
Trong bài báo này, chúng tôi giả thiết 
rằng (Ω, A, P) là một không gian xác suất 
đầy đủ, ( , . )X là không gian Banach 
khả ly thực và *X là không gian đối ngẫu 
của nó. 
X
B là  -đại số Borel trên X . 
Ký hiệu ( )c X là họ tất cả các tập con 
đóng khác rỗng của không gian Banach 
X , là tập tất cả các số thực. Trên 
( )c X ta xác định một cấu trúc tuyến tính 
 108 
với các phép toán được định nghĩa như sau: 
{ : , }A B a b a A b B , 
{ : },A a a A  
trong đó , ( ),  X A B c . 
Cho , ( )A B c X , hàm khoảng cách 
(., )d A , khoảng cách Hausdorff 
( , )Hd A B , hàm tựa ( ,.)s A , chuẩn A 
của A được định nghĩa như sau: 
( , ) inf{ , },d x A x y y A x X , 
( , ) max{sup ( , ), sup ( , )}H
x A y B
d A B d x B d y A
 , 
* * * *( , ) sup{ , : },s x A x y y A x X , 
sup{ : }A x x A . 
Kí hiệu: 
{ ( ) : }U C c C U  X , 
trong đó U X . 
( )c XB là  -đại số trên ( )Xc sinh 
bởi tất cả các tập U , với U là tập con mở 
của X . 
2.1. Biến ngẫu nhiên đa trị 
Một ánh xạ : ( )F c X được gọi 
là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập 
con mở U của X thì tập con 
1( ) { : ( ) }F U F U     A . 
Một phần tử ngẫu nhiên :f  X 
được gọi là một hàm chọn của biến ngẫu 
nhiên đa trị F nếu ( ) ( )f F  h.c.c. với 
mọi   . 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F , ta 
kí hiệu 
1
( ){ ( ) : }F cF
X
A U U B . 
Khi đó FA là  -đại số con bé nhất của 
A mà F đo được. 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo 
được F và với mỗi số thực 1p , ta kí 
hiệu 
( ) { ( , , , ) : ( ) ( )p pFS f L f F    F F X , h.c.c.}, 
với F là  -đại số con của A . 
Nếu F A thì ( )pFS F được viết 
gọn là 
p
FS . 
Một biến ngẫu nhiên đa trị 
: ( )F c X được gọi là khả tích nếu 
tập 
1
FS khác rỗng và được gọi là khả tích bị 
chặn nếu 
1F L . 
Một dãy { : 1}nF n của các biến ngẫu 
nhiên đa trị trong ( )c X được gọi là hội tụ 
theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff, 
kí hiệu 
( )H
nF F khi n , nếu dãy 
biến ngẫu nhiên { ( , ) : 1}H nd F F n hội tụ 
theo xác suất đến 0 khi n . 
2.2. Hội tụ Mosco 
2.2.1. Định nghĩa 
- Cho dãy nS các tập con của 
X ( X là không gian định chuẩn thực). Ta 
định nghĩa: 
lim { : lim , , 1}n n n ns S v v s v v S n - X -
lim { : lim , , 1}- X -
kn k k n
w S v v w v v S k 
với 
kn
S là một dãy con của dãy nS . 
Các tập lim ns S- và lim- nw S lần lượt 
gọi là giới hạn dưới theo topo mạnh trong 
X và giới hạn trên theo topo yếu trong 
X của dãy nS . 
- Cho dãy nS các tập con của X . 
Khi đó, ta nói dãy nS hội tụ theo nghĩa 
Mosco đến tập S X nếu, 
lim lim- -n ns S w S S 
Lúc này ta viết, 
( )M
nS S hay 
Lim nS S . 
109 
Rõ ràng, 
( )M
nS S khi và chỉ khi 
(i) lim nS s S - 
(ii) lim- nw S S 
2.2.2. Hội tụ của dãy các tập lồi 
Cho nS là dãy các tập con lồi, đóng 
của X . Khi đó, ta có (xem [5]): 
- Nếu 
( )M
nS S trong X thì S là 
tập con lồi, đóng của X . Ngoài ra, 
- Nếu S là tập con lồi, đóng của X và 
nS S , với mọi 1n thì dãy nS hội tụ 
theo nghĩa Mosco và Lim nS S . 
- Nếu Lim nS S và kS là một dãy 
con của dãy nS thì 
( )M
kS S khi 
k . 
- Nếu bất kì dãy con kS của dãy 
 nS chứa một dãy con { }hS hội tụ theo 
nghĩa Mosco đến S trong X thì 
dãy nS hội tụ theo nghĩa Mosco đến 
S trong X . 
Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu 
nhiên đa trị được định nghĩa tương tự như 
trên bằng cách thay thế nS bởi ( )nF  và 
S bởi ( )F  , các phát biểu là đúng h.c.c.. 
3. Hội tụ theo xác suất theo nghĩa 
Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị 
Trong phần này, ta xét sự hội tụ theo 
xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến 
ngẫu nhiên đa trị và ta sẽ chứng minh một 
số tính chất của loại hội tụ này. 
3.1. Định nghĩa 
Dãy biến ngẫu nhiên đa trị 
{ : 1}nF n được gọi là hội tụ theo xác suất 
theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa 
trị F , kí hiệu ( )M
P
nF F khi n , 
nếu mọi dãy con { : 1}
kn
F k của dãy 
{ : 1}nF n , tồn tại một dãy con 
{ : 1}
kl
nF l của dãy { : 1}knF k sao cho 
( )
( ) ( )
kl
M
nF F  h.c.c. khi l 
Rõ ràng rằng nếu một dãy biến ngẫu 
nhiên đa trị hội tụ h.c.c. theo nghĩa Mosco 
thì sẽ hội tụ theo xác suất theo nghĩa