Điều kiện tối ưu tập chấp nhận được lồi xác định bởi vô hạn ràng buộc bất đẳng thức

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 39 
DOI:10.22144/ctu.jvn.2019.005 
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC LỒI XÁC ĐỊNH BỞI 
VÔ HẠN RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC 
Lê Thanh Tùng1*, Trần Thiện Khải2, Phạm Thanh Hùng3 và Phạm Lê Bạch Ngọc3 
1Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ 
2Trung tâm Đào tạo và Hợp tác Doanh nghiệp, Trường Đại học Trà Vinh 
3Khoa Sư phạm và Xã hội Nhân văn, Trường Đại học Kiên Giang 
*Người chịu trách nhiệm về bài viết: Lê Thanh Tùng (email: lttung@ctu.edu.vn) 
Thông tin chung: 
Ngày nhận bài: 22/05/2018 
Ngày nhận bài sửa: 03/08/2018 
Ngày duyệt đăng: 27/02/2019 
Title: 
Optimality conditions in convex 
optimization with the convex feasible set 
defined by infinite inequality constraints 
Từ khóa: 
Bài toán tối ưu nửa vô hạn, dưới vi phân 
Michel-Penot, điều kiện tối ưu, tối ưu lồi, 
tối ưu trơn và không trơn 
Keywords: 
Semi-infinite programming, Michel-Penot 
subdifferential, optimality conditions, 
convex optimization, smooth and 
nonsmooth optimization 
ABSTRACT 
The paper deals with the necessary and sufficient optimality 
conditions for the convex optimization problem with convex 
feasible set defined by infinite inequality constraints in the both 
cases, smooth and nonsmooth data. The results enhance some 
recent KKT type theorems by Lasserre for differentiable 
functions and by Dutta and Lalitha for Lipschitz functions. 
TÓM TẮT 
Bài báo này khảo sát điều kiện tối ưu cần và đủ cho bài toán 
tối ưu lồi có tập chấp nhận được lồi được định nghĩa bởi vô 
hạn ràng buộc bất đẳng thức cả trong trường hợp trơn và 
không trơn. Kết quả đã phát triển một số định lý điều kiện tối 
ưu dạng KKT gần đây bởi Lasserre đối với lớp hàm khả vi và 
bởi Dutta và Lalitha đối với lớp hàm Lipschitz. 
Trích dẫn: Lê Thanh Tùng, Trần Thiện Khải, Phạm Thanh Hùng và Phạm Lê Bạch Ngọc, 2019. Điều kiện tối 
ưu tập chấp nhận được lồi xác định bởi vô hạn ràng buộc bất đẳng thức. Tạp chí Khoa học Trường 
Đại học Cần Thơ. 55(1A): 39-46. 
1 MỞ ĐẦU 
Tối ưu lồi là một chủ đề quan trọng trong lý 
thuyết tối ưu và ứng dụng (Rockafellar, 1970; 
Hiriart-Urruty và Lemarechal, 1993). Trong bài báo 
gần đây, Lasserre (2011) thu được định lý dạng 
KKT bằng cách ràng buộc tập chấp nhận được là lồi 
thay vì hàm ràng buộc là lồi. Kết quả này mở rộng 
đối với trường hợp hàm không trơn trong bài của 
Dutta và Lalitha (2013) theo hướng sử dụng dưới vi 
phân Clarke. Matinez-Legaz (2015) đã thống nhất 
lại các kết quả trên bằng cách sử dụng dưới vi phân 
tiếp tuyến, được đề xuất trong nghiên cứu của 
Pshenichnyi (1971). Một vài phát triển đối với hàm 
lồi suy rộng được trong nghiên cứu của Giorgi 
(2013) và Quyen (2017). Kết quả nghiên cứu của 
Dutta và Lalitha (2013) được mở rộng sang cho bài 
toán tối ưu đa mục tiêu có tập ràng buộc lồi trong 
Kuroiwa và Yamamoto (2016). Một số định tính 
ràng buộc cho bài toán tối ưu với tập ràng buộc lồi 
được khảo sát trong Chieu et. al. (2018). 
Tuy nhiên, các kết quả nêu trên chỉ mới xét tập 
chấp nhận được là lồi được xác định bởi hữu hạn các 
ràng buộc bất đẳng thức. Trong trường hợp tổng 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 40 
quát, một tập lồi có thể được xác định bởi hữu hạn 
các ràng buộc bất đẳng thức lẫn vô hạn các ràng 
buộc bất đẳng thức. Chẳng hạn, Boyd và 
Vandenberghe (2004) với tập lồi S được xác định 
bởi giao vô hạn các ràng buộc bất đẳng thức 
 2 1 cost cos 2 1, t1 2 3 3x x x t 
biểu diễn như sau. 
Từ những quan sát nêu trên, trong bài báo này, 
nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán 
tối ưu lồi đối với tập chấp nhận được lồi được định 
nghĩa bởi vô hạn ràng buộc bất đẳng thức được thực 
hiện. Bài báo được sắp xếp như sau: Phần 2 sẽ nhắc 
lại những khái niệm cơ bản và kiến thức chuẩn bị; 
trong Phần 3, điều kiện tối ưu KKT được xây dựng 
cho trường hợp hàm trơn; trong Phần 4, điều kiện tối 
ưu KKT được nghiên cứu trong trường hợp hàm 
Lipschitz theo hướng sử dụng dưới vi phân Michel-
Penot; một số ví dụ được đưa ra minh họa cho kết 
quả. 
2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 
Các ký hiệu và định nghĩa sau đây sẽ được sử 
dụng trong suốt bài báo. Ký hiệu n cho một không 
gian định chuẩn hữu hạn chiều. Ký hiệu n là không 
gian đối ngẫu *n và *,x x là giá trị của ánh xạ 
tuyến tính liên tục ** nx tại nx . Với nS  
, ta lần lượt gọi intS, clS, bdS và coS là phần trong, 
bao đóng, biên và bao lồi của S. Kí hiệu S là lực 
lượng của S, tức là số phần tử của S. Nón lồi chứa 
gốc sinh bởi S được kí hiệu posS, được định nghĩa 
như sau: 
pos : , , 0, 1,..., .
1
knS x x x x S i ki i i i
i
     
Với x cho trước, U x là một họ các lân cận 
của x . Với 0 , kí hiệu 
 , : nB x x x x là hình cầu đóng tâm x
, bán kính . Nón cực âm và nón cực âm chặt của 
S lần lượt được định nghĩa 
 * *: , 0, ,nS x x x x S  
 * *: , 0, \{0} .s nS x x x x S  
Đạo hàm theo hướng bên phải của hàm 
: n tại nx theo hướng nd được kí hiệu 
'( , )x d và được xác định bởi 
 ' , : lim .0
x hd x
x d
hh
   
Định nghĩa 2.1. (Clarke, 1983) Giả sử nx và 
: n là hàm Lipschitz địa phương. Đạo hàm 
theo hướng Clarke của : n tại x theo hướng 
u được xác định bởi 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 41 
 , : limsup .
0,
x hu xo x u
hh x x
  
 
Dưới vi phân Clarke của  tại x là 
 * *: , , , .C n o nx x x d x d d   
Hàm  được gọi là chính quy Clarke tại x nếu 
tồn tại ' ,x d và , ' ,o x d x d  với mọi 
nd . 
Định nghĩa 2.2. (Michel và Penot, 1984; Michel 
và Penot, 1992) Giả sử nx và : n là hàm 
Lipschitz địa phương. Đạo hàm theo hướng Michel-
Penot (MP) của : n tại x theo hướng u 
được xác định bởi 
 , : sup lim sup .
0
x h u v x hv
x u
n hv h
 

  
Dưới vi phân MP của  tại x là 
 * *: , , , .MP n nx x x d x u d    
Hàm  được gọi là chính quy MP tại x nếu 
 ' ,x d tồn tại và , ' ,x d x d  với mọi nd . 
Các tính ... không cần thiết hữu 
hạn. Kí hiệu tập chấp nhận được của (P) là 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 42 
 : ( ) 0, .nx g x t Tt 
Trong bài báo này, luôn giả sử rằng  là tập lồi, 
T là tập compact và ánh xạ đa trị ,x t g xt nửa 
liên tục trên n T . 
Điểm x được gọi là nghiệm địa phương của (P) 
nếu tồn tại U U x sao cho 
 , .f x f x x U   
Nếu nU , cụm từ “địa phương” được bỏ đi, tức 
là có khái niệm toàn cục. Bài toán (P) thỏa mãn điều 
kiện Slater (SC) nếu 
tồn tại nx  sao cho 0,g x t Tt   . 
Kí hiệu | |T là tập hợp tất cả các hàm :T 
chỉ lấy các giá trị dương của t tại một số hữu hạn 
điểm của T và bằng không tại các điểm còn lại, tức 
là tồn tại một tập chỉ số hữu hạn khác rỗng 
 : 1,2, ..., J k T  sao cho 0t với mọi t J và 
0t với mọi \t T J . Với x  cho trước, kí hiệu 
 0T x t T g xt là tập chỉ số tất cả các ràng 
buộc theo chỉ số hoạt tại x . Tập các nhân tử ràng 
buộc theo chỉ số hoạt tại x  là 
 | |: 0, .Tx g x t Tt t   
Lưu ý rằng x  nếu tồn tại tập chỉ số hữu 
hạn  : 1,2, ..., I m T x  sao cho 0t với mọi t I 
và 0t với mọi \t T I . 
Nhận xét 2.1. Khi f và ,g t Tt là các hàm lồi, 
(P) được gọi là bài toán tối ưu nửa vô hạn lồi 
(Goberna và Lopez, 1998; Goberna et. al., 2016; 
Goberna và Kanzi, 2017). Trong trường hợp này, có 
thể thấy rằng tập chấp nhận được  hiển nhiên là 
tập lồi. 
3 TRƯỜNG HỢP HÀM TRƠN 
Trong phần này, ta giả sử rằng , ,f g t Tt là khả 
vi liên tục trên n . 
Định nghĩa 3.1. Ta nói rằng giả thiết (A) thỏa 
tại x  nếu với mọi t T , 
 0g xt , khi 0g xt . 
Chú ý rằng dưới điều kiện Slater, (A) tự động 
thỏa nếu tg là lồi. 
Bổ đề 3.1. Giả sử (SC) thỏa và (A) thỏa với mọi 
x  . Khi đó,  là tập lồi nếu và chỉ nếu với mọi 
t T : 
 , 0, ,g x y x x yt   với 0g xt . 
Chứng minh: Khi ,g t Tt liên tục,  là đóng 
với phần trong khác rỗng. Việc chứng minh tương 
tự với chứng minh Bổ đề 2.2 (Lasserre, 2011). □ 
Định nghĩa 3.2. Một điểm x  được gọi là một 
điểm KKT của (P) nếu tồn tại x  sao cho 
 0.f x g xt t
t T
   
Mệnh đề 3.1. Giả sử (SC) thỏa và (A) thỏa với 
mọi x  . Nếu x là một nghiệm địa phương của (P) 
thì x là một diểm KKT của (P). 
Chứng minh: Giả sử x  là một nghiệm địa 
phương của (P). Điều kiện tối ưu Fritz-John phát 
biểu rằng (Lopez và Still, 2007) tồn tại 0 và 
 x  với 1t
t T
  
 sao cho 
 0.f x g xt t
t T
    
 (1) 
Ta chứng minh rằng 0 . Giả sử ngược lại 0 
. Khi đó, tập : 0,J t T xt    khác rỗng và 
 0g xt với mọi t J . Khi (SC) thỏa, tồn tại 0 
sao cho   , , 0B x g xt  với mọi t T , và 
 0g xt với mọi  ,x B x . Từ (1) suy ra 
  , 0, , .g x x x x B xt t
t T
   
Do đó, theo Bổ đề 3.1, suy ra rằng 
 , 0g x x xt với mọi t J và ,x B x  . Điều 
này dẫn đến 0g xt với mọi t J , mâu thuẫn với 
(A). Vì vậy 0 , và không mất tính tổng quát chúng 
ta lấy 1 . □ 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 43 
Định nghĩa 3.3. f được gọi là giả lồi tại x nếu 
với mọi nx sao cho , 0f x x x , ta có 
 f x f x . 
Mệnh đề 3.2. Giả sử x là một điểm KKT của 
(P). Khi đó, x là một nghiệm của (P) nếu một trong 
các điều kiện sau thỏa: 
(i) f là giả lồi tại x . 
(ii) : nL x x f x f xf là lồi. 
Chứng minh : (i) Chứng minh tương tự như 
chứng minh của Định lý 2.3 (Giorgi, 2013). 
(ii) Chứng minh tương tự như chứng minh của 
Định lý 1 (ii) (Quyen, 2017). □ 
Ví dụ 3.1. Giả sử 2:f được định nghĩa 
 , 21 2 1 2f x x x x 
Và tập chấp nhận được  được cho như sau 
   2 0, 0,1 ,x g x t Tt 
trong đó 0 1g x x và 2 21g x t x xt , 0,1t . 
Dễ thấy  là tập lồi và gt , 0,1t không là hàm 
lồi. Với 1,1x , ta có x  và 1T x . Ta kiểm 
tra các giả thiết trong Mệnh đề 3.1 đều thỏa. Giả sử 
:T được định nghĩa 
  
1, 1,
0, 0,1 .
khi t
t
khi t
  
Khi đó. x  và 
 2,1 1 2, 1 0.f x g xt tt T   
Ngược lại, khi hàm f lồi, thì giả sử trong Mệnh 
đề 3.2 thỏa. Do đó, điểm KKT x lả nghiệm của (P). 
Kết luận này có thể kiểm tra trực tiếp sau đây. Với 
mọi x  , ta có 
12 21 2 1 2
1
1 13 . .31 1 1 12 2
1 1
3
f x x x x
x
x x x x
x x
f x
4 TRƯỜNG HỢP HÀM LIPSCHITZ 
Trong phần này, ta giả sử , ,f g t Tt là những 
hàm Lipschitz địa phương nhưng không cần nhất 
thiết phải lồi. Giả sử x  , ta đặt 
 : .
MPG x g xt
t T x
 
 
Bổ đề 4.1. (Caristi và Ferrara, 2017) Giả sử rằng 
 MPg xt là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên theo 
t tại .x  Ta kí hiệu : max ,x g x xt
t T
  
 thì 
(i) co G x là tập compact, 
(ii) co .MP x G x  
Bây giờ, ta thiết lập điều kiện cần tối ưu ở dạng 
Fritz-John cho nghiệm địa phương của bài toán (P) 
sau đây. 
Mệnh đề 4.1. Giả sử rằng MPg xt là một 
ánh xạ đa trị nửa liên tục trên theo t tại .x  Nếu 
x là nghiệm địa phương của bài toán (P), thì tồn tại 
0 và x  sao cho 1tt T   thỏa mãn 
 0 .MP MPf x g xt t
t T
   
Chứng minh. Từ Bổ đề 4.1 (i), suy ra G x là 
tập compact. Điều này dẫn đến MP f x G x  
cũng là tập compact, và do đó co MP f x G x  
là tập đóng. Tiếp theo ta chứng minh 
 0 co .MP f x G x   (2) 
Giả sử ngược lại 0 co .MP f x G x   Áp 
dụng Định lý tách chặt tồn tại nu thỏa mãn 
 * *, 0, co .MPx u x f x G x    
Suy ra, 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 44 
co
.
 
 
 



sMPu f x G x
sMP f x G x
s sMP f x G x
Từ Bổ đề 4.1 (ii) và su G x suy ra 
 co ,ss MPu G x x    
nghĩa là * *, 0, .MPx u x x    Điều này 
dẫn đến 0.x  Do đó, ta có 
limsup
0
sup limsup 0.
0

  
x hu x
hh
x h u v x hv
n hv h
 
 
Suy ra tồn tại 0 và 0 thỏa mãn 
 , 0, .x hu x h h     
Do đó 0, 0, ,x hu h    nghĩa là 
 0, , 0, .g x hu t T ht    
Tương tự, từ sMPu f x  ta suy ra tồn tại  
thỏa mãn 
 0, 0, .f x hu f x h   
Ta đặt, từ : min , ,   ta có 
 , 0,x hu h   và .f x hu f x Suy ra mâu 
thuẫn. Vậy (2) không xảy ra. Suy ra từ (2) và Bổ đề 
2.2, Mệnh đề 4.1 được chứng minh hoàn toàn. 
□ 
Định nghĩa 4.1. Ta nói rằng giả thiết (B) xảy ra 
tại x  nếu với tất cả t T là nghiệm địa phương 
của bài toán (P), thì tồn tại 0 và x 
sao cho 
1t
t T
  
 thỏa mãn 
 0 ,MPg xt  khi 0.g xt 
Bổ đề 4.2. Giả sử rằng (SC) và (B) xảy ra với 
tất cả .x  Giả sử rằng với mỗi , ,g t Tt là MP 
chính quy. Khi đó,  là tập lồi nếu và chỉ nếu với 
mọi 
 , 0, ,g x y x x yt   với 0.g xt 
Chứng minh. Bởi vì ,g t Tt liên tục và  là 
tập đóng với phần trong khác rỗng. Chứng minh ở 
bổ đề này tương tự với cách chứng minh của Mệnh 
đề 2.2 (Dutta và Lalitha, 2013). □ 
Định nghĩa 4.2. Một điểm được gọi là điểm MP 
KKT của (P) nếu tồn tại x  thỏa mãn 
 0.MP MPf x g xt t
t T
  
Mệnh đề 4.2. Giả sử rằng (SC) và (B) xảy ra tại 
.x  Giả sử rằng với mỗi , ,g t Tt là MP chính 
quy và MPg xt là nửa liên tục trên theo biến t 
tại .x  Nếu x là nghiệm địa phương của (P) thì 
nó cũng là một điểm MP KKT của (P). 
Chứng minh. Giả sử x  là nghiệm địa 
phương của bài toán (P). Suy ra từ Mệnh đề 4.1 tồn 
tại 0 và x 
sao cho 1t
t T
  
 thỏa 
mãn 
 0 .MP MPf x g xt t
t T
   
 (3) 
Áp dụng tính toán của hàm tựa, ta có 
 , , 0, .nf x d g x d dt t
t T
   
 (4) 
Tiếp theo ta chỉ cần chứng minh 0 . Giả sử 
ngược lại 0. Khi đó, ta có tập 
 : | 0,J t T xt   là tập khác rỗng và 
 0g xt với tất cả t J . Bởi vì (SC) xảy ra nên tồn 
tại 0 thỏa mãn , , 0B x g xt    với tất cả 
t J và 0, , .g x x B xt   Từ (4) suy ra 
 , 0, , .g x x x x B xt t
t J
  
 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 45 
Do đó, từ Mệnh đề 4.1 suy ra , 0g x x xt với 
mọi t J và , .x B x  Với bất kỳ nw , ta có ,x hw B x   với 0h đủ nhỏ. Do đó, với bất kỳ 
t T , ta có 
 , , , 0.g x x x hg x w g x x hw xt t t   
Từ , ,x B x   ta có , 0, .g x w t Tt  Suy 
ra 0 , .MPg x t Tt   Suy ra mâu thuẫn với (B). 
Vậy mệnh đề được chứng minh. □ 
Định nghĩa 4.3. (Ye, 2004) f được gọi là giả 
lồi MP tại x nếu với tất cả nx thỏa mãn 
 , 0f x x x ta có .f x f x 
Mệnh đề 4.3. Giả sử rằng (SC) và (B) xảy ra tại 
x  . Giả sử rằng f là giả lồi MP tại x và với 
mỗi , ,g t Tt là MP chính quy. Nếu x là một điểm 
MP KKT của (P), thì x là một nghiệm của (P). 
Chứng minh. Giả sử x là một điểm MP KKT 
của (P), thì tồn tại x  thỏa mãn 
 0.MP MPf x g xt t
t T
  
Thì với mọi x  , ta có 
 , ,  f x x x g x x xt tt T 
*max , 0.* 
  
x x x
MP MPx f x g xt t
t T
Từ x  , theo Mệnh đề 4.2 suy ra 
 , 0, .g x x x t Tt  Suy ra , 0.f x x x Do tính 
giả lồi MP của f tại x , mệnh đề được chứng 
minh. □ 
Ví dụ 4.1. Giả sử rằng hàm :f xác định 
bởi 1,f x x và tập chấp nhận được  được cho 
bởi 
   2| 0, 0,1 ,x g x t Tt 
ở đây   3max , 1, 0,1 .g x t x x tt Ta có 
 | 1 ,x x  1,1 ,MP f x 
    2 2min ,3 ,max ,3 ,t 0,1 .MPg x t tx t txt  
Do đó,  là tập lồi và ,t 0,1 ,gt 
không phải là 
một hàm lồi. Với 1,x ta có , 1 .x T x  Vì 
,tg Tt 
là chính quy Clarke và ,g t Tt còn là chính 
quy MP. Ta thấy tất cả các điều kiện trong Mệnh đề 
4.2 là được thỏa mãn. 
Giả sử :T được xác định bởi 
  
1, 1,
0, 0,1 .
khi t
t
khi t
 
Khi đó x  và 
      0 1,1 1. 1,3 0,4 .MP MPf x g xt t
t T
   
Ngược lại, từ f là hàm lồi, các điều kiện trong Mệnh đề 4.3 là được thỏa mãn. Do đó, ta có điểm 
KKT còn là một nghiệm của (P). 
5 KẾT LUẬN 
Trong bài báo này, điều kiện tối ưu cần và đủ 
cho bài toán tối ưu lồi có tập chấp nhận được lồi 
được định nghĩa bởi vô hạn ràng buộc bất đẳng thức 
đã được khảo sát cho cả trong trường hợp trơn và 
không trơn. Do một tập lồi có thể được xác định bởi 
giao của vô hạn các tập lồi hoặc giao của vô hạn các 
tập không lồi, kết quả trong bài báo này là mở rộng 
tự nhiên của các kết quả trong nghiên cứu của 
Lasserre (2011); Dutta và Lalitha (2013). Khảo sát 
điều kiện tối ưu hơn cho bài toán tối ưu với tập ràng 
buộc lồi dùng dưới vi phân tiếp tuyến (Martinez-
Legaz, 2015; Tung, 2018) hoặc dưới vi phân 
Mordukhovich (2006) là một chủ đề thú vị trong các 
nghiên cứu tiếp theo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Boyd, S. and Vandenberghe, L., 2004. Convex 
Optimization. Cambridge University Press, 
Cambridge. 
Caristi, G. and Ferrara, M., 2017. Necessary 
conditions for nonsmooth multiobjective semi-
infinite problems using Michel-Penot 
subdifferential. Decisions in Economics and 
Finance 40(1): 103-113. 
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 
 46 
Chieu, N.H., Jeyakumar, V., Li, G. and Mohebi, H., 
2018. Constraint qualifications for convex 
optimization without convexity of constraints: 
New connections and applications to best 
approximation. European Journal of Operational 
Research 265(1): 19-25. 
Clarke, F.H., 1983. Optimization and Nonsmooth 
Analysis. Wiley, New York. 
Dutta, J. and Lalitha, C.S., 2013. Optimality 
conditions in convex optimization revisited. 
Optimization Letters 7(2): 221-229. 
Giorgi, G., 2013. Optimality conditions under 
generalized convexity revisited. Annals of the 
University of Bucharest, Mathematical Series 
4(LXII): 479-490. 
Goberna, M.A. and Lopez, M.A., 1998. Linear Semi-
Infinite Optimization. Wiley, Chichester. 
Goberna, M.A., Guerra-Vazquez, F. and Todorov, 
M.I., 2016. Constraint qualifications in convex 
vector semi-infinite optimization. European 
Journal of Operational Research 249(1) : 32-40. 
Goberna, M.A. and Kanzi, N., 2017. Optimality 
conditions in convex multiobjective SIP. 
Mathematical Programming 164(1): 167-191. 
Hiriart-Urruty, J.B. and Lemarechal, C., 1993. 
Convex Analysis and Minimization Algorithms 
I. Springer, Berlin. 
Kanzi, N., 2014. Constraint qualifications in semi-
infinite systems and their applications in 
nonsmooth semi-infinite problems with mixed 
constraints. SIAM Journal on Optimization 
24(2): 559-572. 
 Lasserre, J.B., 2011. On representations of the 
feasible set in convex optimization. Optimization 
Letters 5(1): 1-5. 
 Lopez, M.A. and Still, G., 2007. Semi-infinite 
programming. European Journal of Operational 
Research 180(2): 491-518. 
 Martinez-Legaz, J.E., 2015. Optimality conditions 
for pseudo-convex minimization over convex 
sets defined by tangentially convex constraints. 
Optimization Letters 9(5): 1017-1023. 
 Michel, P. and Penot, J-.P., 1984. Calcus sous-
differentiel pour des fonctions Lipschitziennes et 
non Lipschitziennes. Comptes Rendus de 
l'Académie des Sciences - Series I -Mathematics 
12(2) : 269-272. 
 Michel, P. and Penot J-.P., 1992. A generalized 
derivative for calm and stable functions. 
Differential Integral Equations 5(2): 433-454. 
 Mordukhovich, B.S., 2006. Variational Analysis 
and Generalized Differentiation. Vol. I: Basic 
Theory. Springer, Berlin. 
 Pshenichnyi, B.N., 1971. Necessary Conditions 
for an Extremum. Marcel Dekker Inc, New York. 
 Quyen, H., 2017. Necessary and sufficient KKT 
optimality conditions in non-convex optimiza-
tion. Optimization Letters 11(1): 41-61. 
 Rockafellar R.T., 1970. Convex Analysis. 
Princeton Math. Ser., vol. 28, Princeton 
University Press, Princeton, New Jersey. 
 Tung, L.T., 2017. Strong Karush-Kuhn-Tucker 
optimality conditions and duality for nonsmooth 
multiobjective semi-infinite programming via 
Michel-Penot subdifferential. Journal of 
Nonlinear Functional Analysis 2017: 1-21. 
 Tung, L.T., 2018. Strong Karush-Kuhn-Tucker 
optimality conditions for multiobjective semi-
infinite programming via tangential 
subdifferential. RAIRO - Operations Research 
52(4): 1019-1041. 
 Yamamoto, S. and Kuroiwa, D., 2016. Constraint 
qualifications for KKT optimality condition in 
convex optimization with locally Lipschitz 
inequality constraints. Linear and Nonlinear 
Analysis 2(2): 101-111. 
 Ye, J. J., 2004. Nondifferentiable multiplier rules 
for optimization and bilevel optimization 
problems. SIAM Journal on Optimization 15(1): 
252-274.