Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021

TRƯỜNG THCS MỖ LAO – NĂM HỌC: 2020 - 2021 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK II 
A. ĐẠI SỐ : 
PHẦN I: TOÁN RÚT GỌN 
Bài 1 : Cho 2 biểu thức P = 1 1 2
11
x x
xx x x
 và Q = 1
1x 
 với x > 0 ; 1x 
1) Tìm giá trị của x để Q < 0 
2) Rút gọn P rồi tìm giá trị của x để P = 3 
3) Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức 
P
Q
 nhận giá trị nguyên 
Bài 2: Cho biểu thức: 
A = 
2√x+3
3+ √x
 và B = (
15− √x
x - 25
+ 
2
√x+5
) ∶ 
√x+3
√x−5
 với x ≥ 0 và x ≠ 25 
a) Tính giá trị của biểu thức A với x = 9 
b) Rút gọn biểu thức B 
c) Tìm giá trị của x để A + B nhận giá trị nguyên. 
Bài 3: Cho biểu thức: P = (
x + 3√x + 2
(√x+2)(√x−1)
− 
x + √x
x−1 
) ∶ (
1
√x+1
+ 
1
√x−1 
) (x ≥ 0; x ≠ 1) 
a) Rút gọn P 
b) Tìm x để 
1
P
− 
√x +1 
8
 ≥ 1 
Bài 4: Cho biểu thức: 
A = 
2 – 5√x
√x+1
 và B = (
√x
√x + 3
+ 
2√x
√x −3 
– 
3x + 9
x – 9
) ∙ (
√x −2
3
+ 1) (x ≥ 9 ; x ≠ 0) 
a) Tính A tại x = 16 
b) Rút gọn biểu thức B 
c) Gọi M = A . B. So sánh M với 1 
Bài 5: Cho biểu thức: A = 
x + 3
√x −2 
 và B = 
√x −1
√x+2
− 
5√x −2
4 – x
 với x ≥ 0; x ≠ 4 
a) Tính giá trị của A tại x = 16 
b) Rút gọn B 
c) Đặt P = A : B. Tìm giá trị của x thỏa mãn: P . √x + x − 1 = 2√3x + 2√x − 2 
Bài 6: Cho biểu thức: A = 
√x
√x +2
 và B = 
√x
√x – 1
− 
5
√x + 2
+ 
√x – 4
x + √x −2
 với x ≥ 0 ; x≠ 1 
a) Tính giá trị của A tại x = 
1
4
b) Rút gọn B 
c) Đặt P = A : B. Chứng minh P > √P với mọi x >1 
Bài 7: Cho biểu thức: 
2 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
( với 0; 1)x x 
a) Rút gọn A. 
b) Cho biểu thức 1.
2
x
B
 Hãy tìm 
A
P
B
 . 
3) Tìm giá trị của m để 
1
m x
P
 nghiệm đúng với mọi x >1. 
Bài 8: Cho biểu thức: A = 
√x+1
√x−1
+ 
√x−1
√x+1
− 
3√x+1
x - 1
 ( x ≥ 0; x ≠ 1) 
a) Rút gọn A 
b) Tính giá trị của A trong mỗi trường hợp sau: x = 9; x = 7 - 4√3 
c) Tìm các giá trị của x để A = 
1
3
d) Tìm các giá trị của x để A < 1 
e) Tìm các giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên. 
f) Tìm các giá trị của x để A = 
x - √x+1
√x+1
g) So sánh A với 2 
h) Với x ≠ 
1
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 
x + 3
2√x−1
 ∙ A 
PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT, HPT 
TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 
Bài 1:Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và đuổi theo 
trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi người biết 
vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20km/h. 
Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc đã định và thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h 
thì ô tô đến B sớm hơn so với dự định là 1 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì ô tô đến B chậm hơn 
1 giờ. Tính quãng đường AB. 
Bài 3: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô con khởi 
hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ô tô khách. Tính vận tốc của 
mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h. 
Bài 4: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được 
1
3
 quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10km mỗi giờ trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc 
dự định, biết người đó đến B sớm hơn 24 phút. 
Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với vận tốc và thời gian dự định. Nhưng khi 
đi được nửa quãng đường, xe bị hỏng phải dừng lại mất 30 phút để sửa. Do đó để đến B đúng hạn, 
người đó phải tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định và thời gian 
xe lăn bánh trên đường. 
Bài 7: Hai ô tô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ô tô thứ nhất bắt đầu xuất phát, 
sau đó 15 phút ô tô thứ hai xuất phát và đi với tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất 10km/h. Trên đường 
đi ô tô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô và hai ô tô đến B lúc mấy giờ, biết chúng đến 
B cùng một lúc. 
Bµi 8 : Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch nhau 170 km vµ ®i ng-îc chiÒu nhau. Sau 3 
giê 20 phót th× hai ca n« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n«, biÕt vËn tèc ca n« xu«i dßng lín 
h¬n vËn tèc cña ca n« ®i ng-îc dßng lµ 9 km/h vµ vËn tèc dßng n-íc lµ 3km/h. 
Bài 10: Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 8km và ngược dòng 105km. Một 
lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. 
Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết rằng vận tốc của dòng nước 
và vận tốc riêng của ca nô không đổi. 
TOÁN NĂNG SUẤT 
Bài 1: Một côn g nhân được giao khoán 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được 
một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lí hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 
sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán được giao đã được người công nhân hoàn thành sớm hơn 1 giờ. 
Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó. 
Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 400 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề 
ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 
2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm? 
Bài 3: Một công nhân dự kiến sẽ hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Lúc đầu người 
đó làm theo năng suất dự kiến. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lí hóa một số 
thao tác nên mỗi giờ người đó làm them được 3 sản phẩm nữa, do đó đã hoàn thành kế hoạch trước 
thời hạn 30 phút. Tính năng suất dự kiến. 
Bài 4: Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất thêm 10 
sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. 
Tính năng suất dự kiến. 
Bài 5: Một công nhân dự định làm 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng sau khi làm 
được 
1
3
 số sản phẩm dự định, người đó nghỉ 40 phút. Do đó, để hoàn thành số sản phẩm còn lại đúng 
thời hạn người công nhân đó phải tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi giờ. Tín ... iờ và vòi thứ hai trong 3 giờ thì được 
3
5
 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu 
sẽ đầy bể? 
Bài 3: Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu người thứ nhất làm 
một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành toàn bộ công việc 
trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu? 
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. nếu lúc đầu chỉ mở vòi 
thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 1 giờ 12 phút nữa bể mới đầy. Hỏi nếu mở riêng 
từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? 
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất 
trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 
2
15
 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu 
sẽ đầy bể? 
Bài 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất 
trong 15 phút và vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ được 
1
5
 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ 
đầy bể? 
TOÁN VỀ SỰ THAY ĐỔI THỪA SỐ CỦA MỘT TÍCH 
Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có kích thước xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giảm 
chiều rộng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 54m2. Nếu giảm chiều dài 4m và tăng chiều rộng thêm 
2m thì diện tích hình chữ nhật tăng 32m2. Tính các kích thước của mảnh vườn. 
Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài 2m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng 
thêm 120m2. Nếu giảm chiều dài 3m và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 60m2. Tính diện tích 
mảnh đất đó. 
Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 40m. Nếu chiều rộng của hình chữ nhật giảm đi 2m và chiều 
dài của hình chữ nhật tăng thêm 4m thì diện tích của hình chữ nhật không thay đổi. Tính diện tích của 
hình chữ nhật. 
TOÁN PHÂN CHIA NĂNG SUẤT ĐỀU 
Bài 1: Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 270 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 
công nhân đi làm việc khác, nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 3 sản phẩm. Hỏi 
lúc đầu trong tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau. 
Bài 2: Một đội xe theo kế hoạch phải chở 30 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành, đội được điều động thêm 5 
xe nữa nên mỗi xe chở giảm đi 0,2 tấn so với quy định. Hỏi theo kế hoạch, đội đó định dung bao nhiêu 
xe để chở và mỗi xe phải chở bao nhiêu tấn, biết tất cả các xe đều cùng một loại và chở số lượng bằng 
nhau. 
TOÁN PHẦN TRĂM 
Bài 1: Hai đội công nhân theo kế hoạch phải hoàn thành 300 sản phẩm. Nhưng khi làm đội I hoàn 
thành 110% kế hoạch đội II hoàn thành 120% kế hoạch của mình, do đó tổng cộng cả hai đội đã làm 
được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà mỗi đội phải làm theo kế hoạch. 
Bài 2: Hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất làm được 1000 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, do cải tiến 
kĩ thuật nên tổ I vượt mức 20% tổ II vượt mức 15% so với tháng thứ nhất. Vì vậy tháng thứ hai cả hai 
tổ sản xuất được 1170 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? 
Bài 3: Hai trường A và B có 500 em học sinh dự thi vào lớp 10. Trường A tỉ lệ đỗ 84%, trường B tỉ lệ 
đỗ 80%, vì vậy cả hai trường có 412 học sinh đỗ vào lớp 10. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường? 
Bài 4:Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm trong thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật 
mới nên tổ I vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành 
vượt mức 120 sản phảm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu? 
Bài 5: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 500 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, tổ I làm vượt mức 6%, 
tổ II làm hụt 8% so với tháng đầu, vì vậy cả hai tổ làm được 488 sản phẩm. Tính số sản phẩm của mỗi 
tổ làm được ở mỗi tháng? 
PHẦN III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 
a) {
2(𝑥 − 𝑦) + √𝑥 + 1 = 4
(𝑥 − 𝑦) − 3√𝑥 + 1 = −5 
b) {
4𝑥
𝑥−1
+ 
1
𝑦+1
= 9
2𝑥
𝑥 − 1
− 
3
𝑦+1
= 1
c) {
2(𝑥 + 𝑦) + √𝑥 − 1 = 9
3(𝑥 + 𝑦) − 2√𝑥 − 1 = 3
d) {
2𝑥
𝑥+1
+ √𝑦 − 2 = 7
𝑥
𝑥+1
− 2√𝑦 − 2 = −4
e) {
2
|𝑥−2|
+ 
1
𝑦
= 2
6
|𝑥−2|
− 
2
𝑦
= 1
f) {
|𝑥 − 1| + 2√𝑦 + 1 = 4
2|𝑥 − 1| − √𝑦 + 1 = 3
g) {
(𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = 𝑥𝑦 + 3
(𝑥 − 2)(𝑦 − 3) = 𝑥𝑦 + 5
h) {
2√𝑥 + 1 − 3√𝑦 − 2 = 5
4√𝑥 + 1 + √𝑦 − 2 = 17
i) {
1
𝑥
+ 
1
𝑦
= 
1
4
10
𝑥
− 
1
𝑦 
= 1
k)
3 2
4
1 2
2 1
5
1 2
x
x y
x
x y
Bài 2: Cho hệ phương trình: {
( m - 1)x - my = 3m -1
2x - y = m + 5
a) Giải hệ phương trình khi m = 2 
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn S = x2 + y2 min 
Bài 3: Cho hệ phương trình : {
x + my = 1
mx + 4y = 2
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất mà x = y + 2 
PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 2)x - 2m – 5 (m là tham số) 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m sao cho x12 + x22 = 18 
Bài 2: Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 ( m là tham số) 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. 
Tìm giá trị của m để (2 + x1 – x2)(2 – x1 + x2) = 0 
Bài 3: Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 4 = 0 ( m là tham số) 
a) Giải phương trình với m = 1 
b) Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12 + x22 nhỏ nhất. 
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 4x – m2 + 4 = 0 ( m là tham số) 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm. 
b) Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x2 = x13 + 4x12 nhỏ nhất. 
Bài 5: Cho phương trình: x2 – mx – m – 1 = 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình: 
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại. 
b) Có hai nghiệm phân biệt. 
c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. 
d) Có hai nghiệm cùng dấu. 
e) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x13 + x23 = -1 
f) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: |x1 − x2| ≥ 3 
g) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 – 5x2 = -2 
PHẦN V: MỐI QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG 
Bài 1: Cho hàm số y = -x2 (P) và y = mx – 1 (d) 
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân 
biệt. 
b) Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m 
để: x12x2 + x22x1 – x1x2 = 3 
Bài 2: Cho hàm số: y = x2 (P) và y = x – m + 1 (d) 
a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (d) khi m = 2 
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung. 
Bài 3: Cho parabol (P): y = 
1
2
 x2 và đường thẳng (d): y = mx – 
1
2
m2 + m + 1 
a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A; B của (d) và (P) 
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho |x1 − x2| = 2 
Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 
a) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B 
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của điểm A và B. Tìm m để |x1 − x2| = 2 
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên trái trục tung. 
Bài 5: Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx + m 
a) Tìm m để (d) đi qua M(-1; -2) 
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A;B. 
c) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung. 
d) Gọi A(x1; y1); B(x2; y2). Tìm các giá trị của m để Q = x1 + y1 + x2 + y2 lớn nhất. 
B. HÌNH HỌC: 
PHẦN I: HÌNH HỌC PHẲNG 
Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) (AB < CD); gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Hai dây 
DI và CI lần lượt cắt AB tại M và N. Các tia DA và CI cắt nhau tại E, tia CB và tia DI cắt nhau tại F. 
a) CMR: tứ giác CDEF nội tiếp. 
b) CMR: EF// AB 
c) CMR: AI2 = IM. ID và IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AMD. 
d) A; B cố định; C và D di động. Gọi R1 và R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMD 
và tam giác BMD. CMR: R1 + R2 không đổi. 
Bài 2: Cho (O;R) có hai đường kính AB và CD cố định vuông góc với nhau. M là một điểm bất kì 
thuộc AB (M khác A, B, O); tia CM cắt (O) tại N khác C, kẻ đường thẳng d đi qua M và vuông góc 
với AB, qua N kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng d tại P. 
a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp. 
b) Chứng minh CM . CN không đổi. 
c) Tứ giác CMPO là hình gì? Vì sao? 
d) Chứng minh khi M di chuyển trên AB thì P di chuyển trên một đường thẳng cố định. 
Bài 3: Cho (O;R) và dây BC cố định ( BC không đi qua tâm ). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC 
và H là hình chiếu của M lên BC. Điểm E thuộc cung lớn BC. Nối ME cắt BC tại D. Từ C kẻ CI vuông 
góc với đường thẳng ME tại I. 
a) Chứng minh : M ; I; H; C cùng thuộc một đường tròn. 
b) Chứng minh: MD . ME = MB2. 
c) Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED. 
d) Gọi A là giao điểm của đường thẳng CI và BE. Xác định vị trí của E trên cung lớn BC để diện tích 
tam giác MAC lớn nhất. 
Bài 4: Cho (O;R) kẻ đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A, C là một điểm bất kì trên d(C 
khác A). Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CM với (O) (M là tiếp điểm). MH vuông góc với AB tại H. Gọi E 
là giao điểm của CO và MA, K là giao điểm của CB và MH. 
a) Chứng minh: Tứ giác OACM nội tiếp. 
b) Chứng minh: EA . MH = EO . HA 
c) Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB. 
d) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt các tia CA và CM theo thứ tự tại 
P và Q. Xác định vị trí của C trên đường thẳng d để diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất. 
Bài 5: Cho (O;R), kẻ đường kính AB. Điểm M bất kì thuộc (O) sao cho MA < MB ( M khác A và B). 
Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Vẽ đường tròn tâm I đường kính MH cắt MA; MB theo thứ tự tại E 
và F. 
a) Chứng minh: MH2 = MF . MB và ba điểm E; F; I thẳng hang. 
b) Kẻ đường kính MD của (O). MD cắt (I) tại điểm thứ hai là N (N khác M). Chứng minh: Tứ giác 
BONF nội tiếp. 
c) MD cắt EF tại K. Chứng minh MK vuông góc với EF và MHK̂ = MDĤ 
d) Đường tròn (I) cắt (O) tại điểm thứ hai là P (P khác M). Chứng minh ba đường thẳng MP; EF; BA 
đồng quy tại một điểm. 
Bài 6: Cho (O) và dây BC cố định không qua O. Trên tia đối của tia BC lấy A bất kì. Kẻ các tiếp tuyến 
AM; AN tới (O) (M;N là các tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AO; BC thứ tự tại H 
và K. Gọi I là trung điểm của BC. 
a) Chứng minh: AH . AO = AB . AC = AM2 
b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp. 
c) Giả sử NI cắt (O) tại P. Chứng minh : MP // BC 
d) Khi A di động trên tia đối của tia BC , chứng minh rằng trọng tâm của tam giác MBC chạy trên 
một đường tròn cố định 
Bài 7: Cho (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA; MB với (O) (A;B là tiếp 
điểm). Qua M kẻ một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm N và P ( N nằm giữa M và P). Gọi K 
là trung điểm của NP. 
a) Chứng minh5 điểm : M; A; K; O; B cùng thuộc một đường tròn. 
b) Chứng minh KM là tia phân giác AKB̂ 
c) Gọi Q là giao điểm thứ hai của BK với (O). Chứng minh : AQ // NP. 
d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh : MA2 = MH . MO = MN . MP 
e) Chứng minh 4 điểm: N; H; P; O cùng thuộc một đường tròn. 
f) Gọi E là giao điểm của AB và OK, F là giao điểm của AB và NP. 
 Chứng minh : AB2 = 4HE . HF 
g) Chứng minh tứ giác KEMH nội tiếp từ đó suy ra tích OK . OE không đổi 
h) Đoạn OM cắt (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. 
i) Chứng minh AE . BF = AF . BE 
j) Chứng minh rằng khi d thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAP luôn chạy trên một đường tròn 
cố định. 
k) Giả sử MA = R√3. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA; OB và cung nhỏ 
AB. 
PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
Bài 1. Một cốc thủy tinh hình trụ đang chứa một lượng nước. Bán kính đáy của cột nước hình trụ 
bằng 2cm. Người ta thả một viên bi hình cầu (không thấm nước) vào cốc, viên bi chìm xuống dưới 
đáy cốc làm cho cột nước dâng cao thêm 3cm và nước chưa tràn ra ngoài. Tính thể tích viên bi. 
Bài 2. Khi uống nước giải khát, người ta hay sử dụng ống hút bằng nhựa hình trụ có đường kính đáy 
là 0,4cm, độ dài trục là 16cm. Hỏi khi thải ra môi trường, diện tích nhựa gây ô nhiểm môi trường do 
100 ống hút này gây ra là bao nhiêu? 
Bài 3. Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy là 12 cm, chiều cao là 10 cm. Tính diện tích vật liệu 
dùng để tạo nên một vỏ hộp như vậy. (Không tính phần mép nối). 
Bài 4. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh bằng 10cm, đường kính đáy bằng 8cm. 
Bài 5. Chiếc nón do làng Chuông (Thanh Oai – Hà Nội) sản xuất là hình nón có đường sinh là 30cm, 
đường kính đáy bằng 40cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón. Tính 
diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón (làm tròn đến cm2). 
Bài 6 Một quả bóng hình cầu có bán kính là 12cm. Tính diện tích da phải dùng để khâu thành quả 
bóng nếu tỉ lệ hao hụt là 2%. 
Bài 7. Có 5 viên bi thủy tinh hình cầu, đường kính mỗi viên là 2cm. Một cốc thủy tinh hình trụ có 
đường kính đáy là 6cm, đang đựng nước (đường kính cột nước là 6cm). 
a/ Tính thể tích mỗi viên bi 
b/ Thả 5 viên bi ngập vào trong cốc nước và nước không tràn ra ngoài. Tính chiều cao cột nước dâng 
lên. 
C. MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO THAM KHẢO 
Bài 1: Cho x; y; z > 0 và 
1
x + y
+
1
y + z 
+ 
1
z + x
= 6 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1
3x + 3y + 2x
+ 
1
3y + 3z + 2x 
+ 
1
3z + 3x +2y
Bài 2: Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = √x + y + √y + z + √z + x 
Bài 3: Cho x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = 
zy√y - 1 + zx√y - 2 + xy√z - 3
xyz
Bài 4: Cho x > 1; y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 
x2
y - 1
+ 
y2
x - 1
Bài 5: Với các số x; y; z > 0 thỏa mãn 
1
xy
+ 
1
yz
+ 
1
zx
= 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = 
x
√yz(1 +x2)
+ 
y
√zx(1 +y2)
+ 
z
√xy(1 +z2)