Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL 
 ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY 
 Số 65 (5/2019) No. 65 (5/2019) 
Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn 
43 
ĐẶC TRƯNG VÀ CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN 
CỦA KHÁI NIỆM VÔ CỰC TRONG TOÁN HỌC 
An epistemological analysis of infinity in Mathematics 
TS. Nguyễn Ái Quốc 
Trường Đại học Sài Gòn 
TÓM TẮT 
Vô cực xuất hiện ở nhiều hình dạng và hình thức trong Toán học. Các điểm ở vô cực trong hình học xạ 
ảnh rất khác với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé xuất hiện trong giải tích phi chuẩn, hoặc các số siêu 
hạn trong lý thuyết tập hợp, hoặc vô hạn liên quan đến một tiến trình giới hạn. Nghiên cứu này trình bày 
một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các 
đặc trưng tri thức luận của nó. 
Từ khóa: vô cực, vô cực tiềm năng, vô cực thực tế, đặc trưng tri thức luận, phân tích tri thức luận lịch sử 
ABSTRACT 
Infinity occurs in many shapes and forms in mathematics. The points at infinity in projective geometry 
are very different from the infinite and infinitesimal quantities that occur in nonstandard analysis, or the 
transfinite numbers in set theory, or the infinity involved in a limiting process. This study presented the 
epistemological analysis that could clarify the emergence and development of concept of Infinity and 
determine the epistemological characteristics of this knowledge object. 
Keywords: infinity, potential infinity, actual infinity, epistemological characteristic, historical epistemological 
analysis 
1. Đặt vấn đề 
1.1. Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm 
vô cực 
Khái niệm vô cực hiện diện trong nhiều 
lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý 
thuyết tập hợp, giải tích, hình học, đại số, 
tôpô học. Nhiều khái niệm toán học được 
xây dựng gắn liền với khái niệm vô cực, cho 
thấy vai trò quan trọng của tri thức này trong 
việc thiết lập các nền tảng của Toán học. 
1.2. Tồn tại những quan niệm sai của 
học sinh về khái niệm vô cực 
Cuối tháng 4 năm 2019, hai thực nghiệm 
khảo sát được tiến hành trên 5 học sinh (HS) 
lớp 10 và 5 HS lớp 11 Trường trung học phổ 
thông Hùng Vương. Vì đây là thời điểm cuối 
học kỳ 2 nên các HS lớp 10 đã kết thúc môn 
đại số, và các HS lớp 11 đã kết thúc môn đại 
số và giải tích. Khảo sát nhằm tìm hiểu xem 
HS hiểu như thế nào về khái niệm vô cực 
trong Toán học. 
Nội dung thực nghiệm thứ nhất trên HS 
lớp 10 bao gồm câu hỏi sau: 
“Cho các hệ thức sau: 
a/ = + 1; b/ - = 1; c/ 
∞
∞
= 1. 
Email: nguyenaq2014@gmail.com 
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 
44 
Em hãy cho biết mỗi hệ thức đúng hay 
sai? Vì sao?” 
Câu trả lời mong đợi: 
a/ đúng; b/ sai; c/ sai. 
Nội dung thực nghiệm thứ hai trên HS 
lớp 11 bao gồm câu hỏi sau: 
“Trong giới hạn hàm số, em hãy cho 
biết tại sao các dạng sau được gọi là dạng vô 
định: 
a/ - ; b/ 0 ; c/ 
∞
∞
 ?” 
Câu trả lời mong đợi: 
Vì đây là câu hỏi liên quan đến ý nghĩa 
của đại lượng vô cùng lớn được biểu thị 
bằng ký hiệu , nên câu trả lời mong đợi là 
nêu ra được một số trường hợp cụ thể để cho 
thấy không thể xác định chính xác được giá 
trị của mỗi biểu thức. 
Kết quả thực nghiệm: 
Trong thực nghiệm thứ nhất, cả 5 HS 
đều trả lời đúng cho câu a/, trong đó 3 HS 
giải thích rằng cộng vô cực với một số 
dương thì phải là vô cực, 2 HS còn lại giải 
thích cộng vô cực với một số thực luôn bằng 
vô cực. Như vậy, các HS này quan niệm vô 
cực là một con số rất lớn. 
Đối với câu b/, có 2 HS cho rằng đúng 
và giải thích hệ thức trong câu b/ tương 
đương với hệ thức trong câu a/, 3 HS còn lại 
cho rằng sai vì vô cực trừ cho vô cực bằng 0. 
Đối với câu c/, cả 5 HS đều kết luận 
đúng, trong đó 2 HS cho rằng đơn giản tử và 
mẫu cho vô cực thì được 1, 2 HS còn lại cho 
rằng hệ thức tương đương với hệ thức = . 
Trong thực nghiệm thứ hai, có 4 HS 
giải thích rằng các biểu thức đã cho vô định 
vì “Sách giáo khoa quy định đó là những 
dạng vô định”. Chỉ duy nhất 1 HS giải thích 
biểu thức trong câu a/ không xác định vì 
hiệu hai vô cực có thể là một số rất lớn, 
nhưng cũng có thể rất nhỏ. Đối với câu b/, 
HS này giải thích rằng vì là giới hạn nên đại 
lượng chỉ tiến dần đến 0 chứ không thể bằng 
0, nên không thể xác định được giá trị của 
biểu thức. Đối với câu c/, HS này giải thích 
tương tự như trong câu a/ rằng giá trị của 
biểu thức có thể rất lớn, hoặc rất nhỏ. 
Như vậy, trong thực nghiệm thứ nhất, 
tồn tại ở HS lớp 10 một quan niệm “vô cực 
là một số rất lớn”, nên có thể áp dụng các 
quy tắc biến đổi như với các số thực. Trong 
thực nghiệm thứ hai, đa số HS gặp khó khăn 
trong việc hiểu ý nghĩa của ký hiệu vô cực 
gắn liền với tiến trình giới hạn. Mặc dù có 1 
HS thấy được tính không xác định của giá 
trị biểu thức nhưng vẫn chưa đưa ra được 
một số trường hợp cụ thể để cho thấy các 
biểu thức có thể lấy nhiều giá trị khác nhau 
trong một tiến trình giới hạn. Sau cùng, HS 
xem ký hiệu biểu đạt cho cùng một đại 
lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong bài 
toán trừ, hay được đơn giản như một nhân 
tử trong bài toán nhân hay chia. 
1.3. Sự cần thiết của phân tích tri thức 
luận 
Việc xác định các loại sai lầm của 
người học trong học Toán và nguồn gốc của 
chúng luôn là nhiệm vụ đầu tiên đặt ra đối 
với các nhà nghiên cứu Didactic Toán trước 
khi đưa ra các giải pháp để giúp người học 
loại bỏ các sai lầm đó. Theo [1]: 
- Nghĩa của tri thức, những vấn đề mà 
tri thức đó cho phép giải quyết. 
- Những quan niệm có thể gắn liền với 
tri thức. 
2. Khái niệm vô cực trong Toán 10 
và 11 
Khái niệm vô cực không được định 
nghĩa tường minh trong chương trình Toán 
10 và 11. 
Trong Sách giáo khoa Đại số 10, khái 
niệm vô cực xuất hiện lần đầu trong bài 
“Tập hợp và các phép Toán trên tập hợp” 
NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 
45 
của chương 1 “Mệnh đề và Tập hợp”. Khái 
niệm vô  ...  = 0, d1,1d1,2d1,3 
a2 = 0, d2,1d2,2d2,3 
a3 = 0, d3,1d3,2d3,3 
Trong đó d là các chữ số từ 0 đến 9. Ta 
định nghĩa số: a = 0.d1d2d3 bằng cách 
chọn d1 d1,1, d2 d2,2, d3 d3,3,  Điều này 
cho một số không nằm trong tập hợp 
{𝑎𝑛}𝑛=1
∞ , và kết quả đã được chứng minh. 
Chứng minh thứ hai (năm 1874). Ta 
chứng tỏ rằng với một dãy số bất kỳ 𝑣1, 𝑣2, 
 các số thực thì có một số không nằm trong 
dãy trong khoảng tùy ý các số thực (a ; b). 
Trước hết, đặt a1 và b1 là các số hạng đầu 
tiên của dãy trong (a ; b) với a1 < b1. Gọi a2 
và b2 là các số hạng đầu tiên của dãy nằm 
trong (a1 ; b1) với a2 < b2, và tiếp tục như thế. 
Do đó a1, a2,  là một dãy tăng, và b1, b2, 
 là một dãy giảm. Có ba trường hợp. Nếu 
dãy là hữu hạn, thì bất kỳ số nào nằm bên 
trong khoảng được chọn sau cùng thỏa các 
yêu cầu. Giả sử rằng các dãy là vô hạn và 
chúng hội tụ lần lượt về các giới hạn, a và 
b . Nếu chúng bằng nhau, thì giá trị này thỏa 
yêu cầu. Nếu không, bất kỳ giá trị trong 
khoảng mở (a ; b ) cũng thỏa yêu cầu. 
Tìm kiếm các tập không thể đếm được, 
Cantor đã xem xét các khái niệm tô pô cho 
các tập hợp dẫn xuất của mình. Ta nói một 
tập S(a ; b) là trù mật nếu S (a ; b). Ta 
nói S đóng nếu S S=S . Ta nói S cách ly 
nếu S =; S là đầy đủ nếu S =S. Đáng lưu ý 
là Cantor đã chứng tỏ rằng các tập đầy đủ 
phải là không thể đếm được. Một trong 
những tập đầy đủ nổi tiếng nhất được gọi là 
tập các phần ba trung tâm được định nghĩa 
là phần dư của khoảng mở (0 ; 1) bằng cách 
loại bỏ phần ba ở giữa, tức là bỏ (1/3 ; 2/3). 
Tiếp theo loại bỏ các phần ba ở giữa của hai 
khoảng con còn lại và các phần ba của bốn 
khoảng con còn lại sau đó, và tiếp tục như 
thế. Tập này là một trong các ví dụ đầu tiên 
của tập Lebesgue đo được không đếm được 
có độ đo không. 
Lúc đó, ông đề cập đến hai kiểu vô hạn, 
vô hạn có thể đếm được và không thể đếm 
được. Không thể xác định được một vô hạn 
ở giữa, ông đưa ra một chứng minh rằng mọi 
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 
52 
tập hợp điểm trên đường thẳng có thể được 
đặt tương ứng một-một với các số tự nhiên 
hoặc số thực. Chứng minh của ông là không 
chính xác, nhưng sự tìm kiếm của ông được 
biết đến ngày nay và được gọi là giả thuyết 
liên tục. Năm 1938, Kurt Godel đã chứng 
minh rằng giả thuyết liên tục không thể bị 
bác bỏ trên cơ sở các nguyên tắc lý thuyết tập 
hợp mà chúng ta chấp nhận ngày nay. Hơn 
nữa, vào năm 1963, Paul Cohen đã xác định 
rằng nó không thể được chứng minh trong 
các nguyên tắc này. Điều này có nghĩa là sự 
liên tục không thể giải quyết được. 
Năm 1879, Cantor đề cập đến các lực 
lượng của vô hạn, xác định hai tập hợp sẽ có 
cùng lực lượng nếu chúng có thể được đặt 
vào tương ứng một-một. Sử dụng phương 
pháp đường chéo của mình, ông có thể 
chứng minh các bậc hoặc lực lượng vô hạn 
của mỗi bậc. 
Năm 1895, Cantor định nghĩa lũy thừa 
số đếm. Sử dụng thuật ngữ 0 để ký hiệu 
bản số của các số tự nhiên, ông định nghĩa 
20cho bản số của các số thực. Với 1 (và 
tổng quát hơn  ký hiệu bản số thứ ) là 
bản số lớn hơn 0, giả thuyết liên tục được 
viết là 20 = 1. 
3.6. Lý thuyết tập hợp 
Theo Cantor, một tập hợp M là “một sự 
tập hợp thành toàn bộ, theo định nghĩa, các 
đối tượng phân biệt (gọi là các phần tử) của 
M theo nhận thức và suy nghĩ của chúng ta”. 
Chẳng hạn, các số {1, 2, , 10} tạo thành 
một tập hợp. Tập hợp các số nguyên tố giữa 
1 và 100. Bậc của các phần của một tập hợp 
là không quan trọng. Do đó, các tập hợp {1, 
2, 3} và {3, 2, 1} là như nhau. Do đó, hai 
tập M và N là như nhau nếu chúng có cùng 
số các phần tử. 
Quan điểm này được nhấn mạnh bởi 
Gottlob Frege (1848 - 1926), trong quá trình 
phát triển lý thuyết tập hợp, người đã chấp 
nhận rằng các tập vô hạn không thể đếm 
được. Ông tìm kiếm một lý thuyết độc lập 
với việc đếm. Vì vậy, ông đã lấy các tương 
ứng một-một làm nền tảng, không theo thứ 
tự tốt. Nội tại của điều này là khái niệm về 
bản số. 
Định nghĩa. Một tập hợp M gọi là tương 
đương với tập hợp N, ký hiệu là MN, nếu 
có thể lấy các phần tử của N tương ứng với 
các phần tử của M trong một cách thứ một – 
một. 
Định nghĩa. Bằng một số đếm của một 
lực lượng, chúng ta nói đến một đại diện tùy 
ý M của một lớp các tập hợp tương đương 
với nhau. Số đếm của một lực lượng của một 
tập hợp sẽ được ký hiệu bởi |𝑀|. Tại điểm 
này, chúng ta có các số đếm sau: 
0, 1, 2,  , 0, 1, 2,  
Ba số đếm sau cùng được gọi là các số 
đếm siêu hạng. Chúng ta cũng biết làm thế 
nào xây dựng nhiều số đếm hơn bằng cách 
lấy tập hợp các tập con của bất kỳ đại diện 
của một số đếm. 
Định nghĩa. Một tập hợp M được gọi có 
một số đếm nhỏ hơn một tập hợp N, ký hiệu 
là |𝑀| < |𝑁|, nếu và chỉ nếu M tương đương 
với một tập con của N, nhưng N không 
tương đương với một tập con của M. 
Trong số các số đếm siêu hạn, 0 là nhỏ 
nhất. Giả thuyết liên tục khẳng định rằng 
20 = 1. Bản số của tất cả các hàm trên 
bất kỳ khoảng nào (hoặc tập hợp không đếm 
được) là 1. 
3.7. Tiên đề chọn 
Năm 1904, Zermelo lần đầu tiên đưa ra 
tiên đề chọn trong tạp chí Toán học, mặc dù 
nó đã được sử dụng trong gần hai mươi năm. 
Thật kỳ lạ, mặc dù đã được sử dụng nhiều 
lần trước đây, nhưng nó đã không được 
chính thức tuyên bố như vậy. Nó chỉ là một 
NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 
53 
phần của chứng minh về các kết quả khác 
nhau đã sử dụng nó. 
Ví dụ, Cantor đã sử dụng nó vào năm 
1887 để hiển thị bất kỳ tập hợp vô hạn nào 
có một tập con có bản số 0. Nó cũng được 
sử dụng trong tôpô học, đại số và giải tích. 
Năm 1890, Giuseppe Peano (1858 - 1932) 
lập luận rằng người ta không thể áp dụng 
một luật chọn một thành viên của một lớp từ 
mỗi lớp trong số nhiều lớp với một số vô hạn 
lần. Sau sự xuất hiện của bài báo Zermelo, 
một vấn đề tiếp theo chứa đựng những lời 
gièm pha không kém gì Emile Borel (1871 
- 1956) và Felix Bernstein (1878 - 1956) 
trong Tạp chí Toán học. Những lời gièm pha 
cũng được gửi đến Bulletin de la Société 
Mathématique de France (Bảng tin của Hội 
Toán học Pháp) mặc dù ra năm 1905 bởi 
Henri Lebesgue (1875 - 1941) và Rene 
Baire (1874 - 1932). 
Hạt nhân của lập luận của họ là: nếu 
một luật xác định không chỉ rõ phần tử nào 
được chọn từ mỗi tập hợp, thì không có lựa 
chọn thực sự nào được thực hiện và tập hợp 
mới không thực sự được hình thành. Cụ thể, 
E. Borel gọi iên đề chọn là một lựa chọn vô 
luật mà khi được sử dụng là một hành động 
của đức tin, và điều đó không được toán học 
chấp nhận. 
3.8. Đặc trưng tri thức luận của khái 
niệm vô cực 
Từ những phân tích ở trên về lịch sử 
hình thành khái niệm vô cực dựa trên các tài 
liệu tham khảo [5], [6], và [7], chúng tôi rút 
ra các đặc trưng tri thức luận của khái niệm 
vô cực như sau: 
- Đặc trưng trừu tượng: vô cực là khái 
niệm dùng để mô tả sự vô hạn, vô tận của 
một đối tượng toán học. 
- Đặc trưng triết học: vô cực được hình 
thành từ những tư tưởng mang tính triết học 
của Hy Lạp cổ đại. 
- Đặc trưng tiềm năng/thực tế: vô cực 
tiềm năng của Aristotle đã thống trị nền toán 
học từ thời cổ đại đến Cantor và vô cực thực 
tế của Cantor. 
- Đặc trưng đếm được/không đếm được: 
gắn liền với các tập số vô hạn. 
- Đặc trưng không xác định được: vô 
cực chỉ một đại lượng vô cùng lớn. 
- Đặc trưng ký hiệu học: ký hiệu biểu 
diễn cho vô cực không phải là một số cụ thể. 
3.9. Chướng ngại tri thức luận 
Từ kết quả phân tích lịch sử hình thành 
khái niệm vô cực, chúng tôi xác định được 
chướng ngại tri thức luận của vô cực là: 
Chướng ngại trừu tượng hóa: chướng 
ngại này sinh ra các khó khăn mà học sinh 
phải đương đầu khi chuyển từ nghiên cứu 
trên các tập hợp số cụ thể sang nghiên cứu 
trên vô cực được ký hiệu bởi . 
Chướng ngại gắn liền ký hiệu học: 
chướng ngại này sinh ra các khó khăn cho 
học sinh khi phải thao tác trên ký hiệu . 
Chướng ngại gắn liền bản chất tiềm 
năng/thực tế: vô cực thực tế gây nhiều khó 
khăn cho các nhà toán học trong quá khứ, do 
đó cũng có thể chính là chướng ngại sinh ra 
các khó khăn mà sinh viên đại học ngày nay 
phải đương đầu khi tiếp cận khái niệm vô cực. 
3.10. Giả thuyết nghiên cứu 
Với hai khó khăn xác định được trong 
thực nghiệm khảo sát trên học sinh trình bày 
trong mục 1.2: 
- Tồn tại quan niệm “vô cực là một số 
rất lớn”, nên có thể áp dụng các quy tắc biến 
đổi như với các số thực; 
- Xem ký hiệu biểu đạt cho cùng một 
đại lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong 
bài toán trừ hay được đơn giản như một 
nhân tử khác không trong bài toán nhân hay 
chia, và từ kết quả phân tích tri thức luận ở 
SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019) 
54 
mục 3.1 đến 3.8, chúng tôi xây dựng giả 
thuyết H về các khó khăn của học sinh khi 
tiếp cận khái niệm vô cực như sau: 
H1. “Tồn tại hai khó khăn trên ở hầu 
hết học sinh khi tiếp cận khái niệm vô cực 
và các khó khăn này có nguồn gốc từ 
chướng ngại tri thức luận: chướng ngại 
trừu tượng hóa, chướng ngại gắn liền ký 
hiệu học”. 
4. Kết luận 
Khái niệm vô cực ra đời nhằm giải 
quyết bài toán giải tích liên quan đến tập dẫn 
xuất của một tập có vô số phần tử trong 
nghiên cứu của Cantor. 
Khái niệm vô cực nảy sinh từ các ý 
tưởng triết học Hy Lạp cổ đại về nhận thức 
thế giới xung quanh, nhưng phải trải qua 
một thời gian dài để được định nghĩa chính 
thức bởi Wallis vào năm 1655. Vô cực tiềm 
năng đã thống trị tư tưởng các nhà toán học 
theo quan niệm của Aristotle trong suốt 
nhiều thế kỷ mặc dù vô cực thực tế đã được 
nhận thấy ở một số nhà khoa học. Cantor là 
người đã khai sinh chính thức vô cực thực tế 
qua nghiên cứu lý thuyết tập hợp. 
Hiểu được quá trình hình thành của 
khái niệm vô cực trong toán học sẽ giúp giáo 
viên hiểu được các chướng ngại và khó khăn 
mà học sinh phải đương đầu khi tiếp cận tri 
thức này. 
Để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H 
trong mục 3.10, trong nghiên cứu tiếp theo, 
chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm để 
làm rõ hai khó khăn của học sinh khi tiếp 
cận khái niệm vô cực và phân tích các 
nguyên nhân dẫn đến các khó khăn này. Các 
kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày chi tiết 
trong một bài viết khác. 
Chú thích: 
1 Pythagoras của xứ Samos là một triết gia Hy Lạp sống từ khoảng năm 570 đến năm 490 TCN. Ông 
đã có những phát triển quan trọng trong toán học, thiên văn học và lý thuyết âm nhạc. Pythagoras 
dành phần lớn cuộc đời của mình để nghiên cứu toán và thành lập một trường học đặc biệt nơi các 
thành viên tuân theo các quy tắc nghiêm ngặt, chẳng hạn như không bao giờ ăn thịt. Pythagoras tin 
rằng mọi thứ trên thế giới có thể được giải thích bằng các con số và trường học của ông đã làm việc 
chăm chỉ để cố gắng học đủ về các con số để có thể hiểu được vũ trụ. 
2 “Phương pháp vét cạn” trong toán học là kỹ thuật được phát minh bởi người Hy Lạp Cổ đại để 
chứng minh các mệnh đề liên quan đến diện tích và thể tích của các hình hình học. Mặc dù nó là tiền 
thân của phép tính tích phân, nhưng phương pháp vét cạn không sử dụng giới hạn cũng như luận 
chứng về các đại lượng vô cùng bé. Thay vào đó, đây là một quy trình logic chặt chẽ, dựa trên tiên 
đề rằng một đại lượng cho trước có thể được tạo ra nhỏ hơn một đại lượng cho trước khác bằng cách 
giảm nó đi một nửa liên tiếp số lần hữu hạn. Từ tiên đề này có thể chứng minh rằng diện tích của 
một hình tròn tỷ lệ với bình phương bán kính của nó. Thuật ngữ vét cạn được đưa ra ở châu Âu sau 
thời Phục hưng và được áp dụng cho các quy trình nghiêm ngặt của Hy Lạp cũng như các chứng 
minh đương thời của các công thức diện tích bằng cách vét cạn diện tích các hình với các xấp xỉ đa 
giác liên tiếp [6, tr. 201]. 
3 Vị trí Giáo sư Hình học Savilian được thành lập tại Đại học Oxford vào năm 1619. Nó được thành 
lập (cùng lúc với Giáo sư Thiên văn học Savilian) bởi Sir Henry Savile, một nhà toán học và học giả 
cổ điển, là Warden của Merton College, Oxford và Provost của Eton College, phản ứng với những 
gì đã được một nhà toán học thế kỷ 20 mô tả là "tình trạng tồi tệ của nghiên cứu toán học ở Anh" vào 
thời điểm đó. [6, tr. 525] 
NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 
55 
4 Trong Hình học, phương pháp không thể chia tách được, hay còn gọi là nguyên lý Cavalier, là một 
phương pháp tính diện tích và thể tích. Nguyên lý Cavalier được phát biểu như sau: “Một bề mặt là 
một sự đặt kề nhau các đường thẳng song song. Đối với Cavalier, các đường thẳng song song là các 
đoạn thẳng song song hay các cung của các đường tròn đồng tâm. Mỗi đường được gọi là một không 
chia tách được của bề mặt để thực hiện phép cầu phương. Nếu hai bề mặt bao gồm các đường có 
cùng độ dài, thì chúng có cùng diện tích. Một nguyên tắc tương tự tồn tại cho thể tích và phát biểu 
rằng các thể tích của hai đối tượng bằng nhau nếu các mặt cắt ngang tương ứng trong mọi trường 
hợp là bằng nhau. Hai mặt cắt ngang tương ứng nếu chúng là phần giao của vật thể với các mặt phẳng 
cách đều một mặt phẳng cơ sở cho trước” [4, tr. 118-124]. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] G. Brousseau, Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, 
Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198, 1983. 
[2] J. W. Dauben, Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory, Scientific 
American, 248 (6), 122-154, 1983. 
[3] J. W. Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, 
Princeton, NewYork, Princeton University Press, 1990. 
[4] H. Eves, Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence, The College Mathematics 
Journal, 22 (2), 118-124, 1991. 
[5] V. J. Katz, A History of Mathematices – An Introduction, 3rd Edition, Pearson 
Education, Inc., 2009. 
[6] M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University 
Press, NewYork, 1972. 
[7] Whinston, A Finite History of Infinity, Portland State University, 2009. 
Ngày nhận bài: 10/4/2019 Biên tập xong: 15/5/2019 Duyệt đăng: 20/5/2019