Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều

2/14/2019
1
CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
MỘT CHIỀU 
1
2.1 Khái niệm và phân loại
• Khái niệm. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên (random
variable) nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ
nhận một và chỉ một giá trị có thể có của nó tùy
thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu
nhiên.
• Ký hiệu: X, Y, Z  hay X1,X2,
• Giá trị có thể có của bnn: chữ thường x, y, z, 
• {X≤x} {Y=y} là các biến cố ngẫu nhiên.
2
Ví dụ 1
• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày
• Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại
• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z:
số mũ bảo hiểm được trả đúng người
• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới
nhập về
• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên
trong lớp này
3
Phân loại bnn
4
Phân loại
5
Rời rạc
- Hữu hạn giá trị
- Vô hạn đếm được giá
trị
- Xác suất tập trung tại
các điểm giá trị
Biến ngẫu nhiên
Liên tục
- Giá trị lấp đầy một hay vài
khoảng hữu hạn hoặc vô hạn
- Xác suất tại từng khoảng giá
trị
- Xác suất không tập trung tại
các điểm
P(X=a)=0 với mọi a
Ví dụ 2
• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu
nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có
trong 2 viên lấy ra.
• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
• Ta có:
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???
6
 0 1 2; ;Y 
2/14/2019
2
Hai biến ngẫu nhiên độc lập
• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố:
• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.
• Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến hai biến
ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.
7
 X x Y y 
2.2 Quy luật phân phối xác suất
8
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu
nhiên và xác suất tương ứng.
Luật phân phối xác suất
Hàm phân bố xác
suất (CDF)
Rời rạc
+ Liên
tục
Xác suất bên trái
Tỷ lệ bên trái
F(x)
Hàm khối xác suất
(PMF)
Rời rạc Xác suất tại điểm p(x)
f(x)
Hàm mật độ xác
suất (PDF)
Liên tục Mật độ xác suất f(x)
9
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu
nhiên và xác suất tương ứng.
• Thường gặp 3 dạng:
Hàm phân phối xác suất
• Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution
Function), viết tắt CDF của biến ngẫu nhiên X là
hàm xác định:
• {X≤x} : biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hơn hay
bằng x”
• Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất hay
hàm tích lũy xác suất.
10
 ( ) ;X xF x P X x 
Tính chất
11
i) 0 1,XF x x R  
ii) XF x là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu 
X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục 
trên R. 
iii) lim 0X X
x
F F x
 lim 1X X
x
F F x
iv) X XP a X b F b F a . 
Hàm phân phối xác suất
12
2/14/2019
3
Hàm khối xác suất
• Probability Mass Function (PMF)
• Tính chất:
13
 Xp x P X x 
) 0
) 1
)
X
X
x
X
x A
i p x
ii p x
iii P A p x


• Dạng bảng
• Dạng đồ thị
Bnn Rời rạc - Bảng ppxs
• Bảng phân phối xác suất của X.
• xi : giá trị có thể có của bnn X
• pi : xác suất tương ứng;
14
X x1 . x2 . xn
P p1 . p2 . pn
1
)) ( ) (
) 1
 
i X
n
i
i
i ii p p x
i
x
p
P X
i
PMF và CDF
15
PMF và CDF
• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:
16
1
1 1 2
1 2 2 3
1 1 1
0 ,
,
,
............................................
... ,
X
k k k
x x
p x x x
F x p p x x x
p p x x x 
k
X X k
x x
F x P X x p x
 
Ví dụ 3
Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt.
Không gian mẫu là: Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁;𝑁𝑆;𝑁𝑁}
Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.
Hàm khối xác suất:
17
1/ 4 ; 0 2
1/ 2 ; 1
0 ; 0; 1; 2
X
x hay x
p x x
x
Ví dụ 3
• Hàm phân phối xác suất:
18
X 0 1 2
P 1/4 1/2 1/4
0 , 0
1/ 4 ,0 1
3 / 4 ,1 2
1 ,2
X
x
x
F x
x
x
2/14/2019
4
Ví dụ 4
• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm
đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm
loại A lấy ra?
• Xác định PMF, CDF?
19
Ví dụ 5
Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản
phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ
kiện 2 ra 1 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt
trong 3 sản phẩm lấy ra?
b) Xác định PMF, CDF
20
Ví dụ 6
• Luật Benford phát biểu rằng trong một lượng rất
lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiên tuân
theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% là số 2 và
nói chung:
• Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọn
ngẫu nhiên.
• Luật phân phối trên có hợp lý không?
21
 10
1
log , {1,2,3...,9}
j
P D j j
j
Chú ý về BNN liên tục
• Nếu X là bnn liên tục thì:
22
) 0,)
)
( 
X a a
ii P a X b P a
i
X
P
b
Hàm mật độ xác suất
23
• Probability Density Function
• Viết tắt: PDF
24
) 0
) 1
  
i f x x R
ii f x dx
Hàm mật độ xác suất
2/14/2019
5
PDF và CDF
25
 f x
x
 F x
x
F x f t dt
 f x F x
Ví dụ 7
• Cho biến ngẫu nhiên X có CDF dạng:
• A) Xác định hệ số k
• B) Tìm PDF
26
 2
0 , 0
,0 1
1 ,1
x
F x kx x
x
Ví dụ 8
• Cho biến ngẫu nhiên X có PDF dạng:
• A) Xác định hệ số k
• B) Tìm hàm CDF
• C) Tính P(2<X<3)
• D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X.
Tính xác suất bnn X không nhận giá trị trong
khoảng (2;3)
27
 2 1
k
f x x
x
2.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên
• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)
• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)
• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)
• Mốt (Mode) m0
• Trung vị (Median) me
• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV
• Hệ số bất đối xứng (Skewness)
• Hệ số nhọn (Kurtosis)
• Giá trị tới hạn
28
Kỳ vọng (Expected Value)
• Kỳ vọng toán học của bnn X được ký hiệu là E(X)
hay  và tính theo công thức sau:
• E(X) là trung bình theo xác suất của X
• E(X) là số xác định và có cùng đơn vị với X
29
Tính chất
30
2/14/2019
6
Ví dụ 9
• Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Gọi X là số chấm
mặt ngửa của cục xúc sắc.
• Tính kỳ vọng của X
• Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của
những lần tung là bao nhiêu?
Ý nghĩa kỳ vọng
• Là giá trị trung bình của bnn (trong một quá trình
lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm của ppxs của
bnn
• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần
chọn phương án