Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 2: Định thức và ma trận - Trường Đại học Ngoại thương

v1.0018112205
BÀI 2
ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN
1
v1.0018112205
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Mô hình input – output Leontief (cân đối liên ngành)
 Xét mô hình đầu vào – đầu ra Leontief với ma trận đầu vào:
 a11 = 0,2; a21 = 0,4; a31 = 0,1: để sản xuất ra 1 triệu đồng hàng hóa loại 1, cần có lượng đầu vào là 0,2
triệu đồng hàng hóa loại 1; 0,4 triệu đồng hàng hóa loại 2 và 0,1 triệu đồng hàng hóa loại 3. 
Lãi: 1 - a11 – a21 – a31 (lãi được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản)
 a12 = 0,3; a22 = 0,1; a32 = 0,3: để sản xuất ra 1 triệu đồng hàng hóa loại 2, cần có lượng đầu vào là 0,3 
triệu đồng hàng hóa loại 1; 0,1 triệu đồng hàng hóa loại 2 và 0,3 triệu đồng hàng hóa loại 3.
Lãi: 1 - a12 – a22 – a32. (lãi được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản)
 ...
 di: nhu cầu chung của xã hội về hàng hóa loại i không tính dùng cho sản xuất (i = 1,2,3). d =(d1, d2, d3)
T.
xi: mức sản xuất đầu ra của ngành công nghiệp i (i = 1,2,3). x =(x1, x2, x3)
T.
 Mô hình cân đối liên ngành: x – Ax = d.
Tình huống: Biết véctơ cầu d = (10, 5, 6) T (x100 tỷ đồng). Xác định mức sản xuất đầu ra của từng ngành x.
2
0 2 0 3 0 2
0 4 0 1 0 2
0 1 0 3 0 2
, , ,
A , , ,
, , ,
v1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Nắm được khái niệm về ma trận, các phép toán về ma trận; khái niệm về hạng của ma trận.
• Hiểu về định thức, các tính chất và cách tính định thức;
• Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau.
• Giải được các bài toán về định thức và ma trận, các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính, theo
cách tự luận và theo trắc nghiệm.
3
v1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
4
2.1 Ma trận
Định thức1.2
2.3 Ma trận nghịch đảo
2.4 Hạng của ma trận và số dạng độc lập tuyến tính
v1.0018112205
2.1. MA TRẬN
5
2.1.2 Số học ma trận
2.1.1 Khái niệm ma trận
v1.0018112205
2.1.1. KHÁI NIỆM
Các ma trận sẽ được dùng trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, trong ánh xạ tuyến tính... và trong
các vấn đề thực tiễn như các mạng thông tin và các hệ thống giao thông vận tải, trong đồ thị. Nhiều thuật toán
sẽ được phát triển để dùng các mô hình ma trận đó.
Định nghĩa 2.1: Ma trận là một bảng số xếp thành m hàng và n cột
aij (Phần tử thứ (i, j) của A) : là số nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của A.
Ký hiệu ngắn gọn: A = [aij]m n, ký hiệu đó cho biết A là một ma trận có kích thước m n.
Ví dụ:
11 1n
m1 mn
a a
A
a a
12 23
1 3 5
A m 2 n 3 a 3 a 6
2 4 6
, , ,
6
v1.0018112205
2.1.1. KHÁI NIỆM (tiếp theo)
Ma trận mà các cột của nó là các hàng tương ứng của A được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là A’, có
kích thước n m:
Ví dụ:
Ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều là số 0 gọi là ma trận không, cũng viết là 0.
'
11 m1
1n mn
a a
A
a a
1 2
1 3 5
A A 3 4
2 4 6
5 6
'
7
v1.0018112205
2.1.1. KHÁI NIỆM (tiếp theo)
• Ma trận có số hàng bằng số cột (m = n) được gọi là ma trận vuông. Lúc đó người ta nói rằng ma trận có cấp n.
Ví dụ:
• Ma trận vuông có dạng:
trong đó aii = 1 và aij = 0(i j) được gọi là ma trận đơn vị.
• Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau.
1 0 0
0 1 0
A
0 0 1
1 3 5
2 4 6 3
7 8 9
A m n
8
v1.0018112205
2.1.2. SỐ HỌC MA TRẬN
a. Phép cộng các ma trận
Định nghĩa 2.3: Cho A = [aij] và B = [bij] là các ma trận m n. Tổng của A và B được ký hiệu là A + B là ma
trận A + B =[aij + bij].
Ví dụ:
b. Phép nhân các ma trận
Nhân ma trận với một hằng số 
Định nghĩa 2.4: Cho A = [aij]m n, . Khi đó tích .A là ma trận kích thước m n xác định bởi .A = [ .aij]m n.
Như vậy muốn nhân ma trận với một số ta nhân mỗi phân tử của ma trận với số đó.
Ví dụ:
1 3 2 3 1 2 3 3 3 6
2 4 1 5 2 1 4 5 3 9
,A B A B
4 6 4 6 20 30
5 5
0 3 0 3 0 15
. .A A
9
v1.0018112205
2.1.2. SỐ HỌC MA TRẬN (tiếp theo)
Định nghĩa 2.5: Xét hai ma trận A = [aik]m p; B = [bkj]p n
trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Người ta gọi tích AB là ma trận C = [Cij]m n có
m hàng, n cột mà phần tử Cij là tích vô hướng của hàng thứ i ma trận A và cột thứ j của ma trận B.
Ví dụ 3:
Cho
 
p
ij ik kj
k 1
c a b
1 0 4 14 4
2 4
2 1 1 8 9
A , B 1 1 C A.B
3 1 0 7 13
3 0
0 2 2 8 2
10
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho các ma trận . Khi đó là:
• Đáp án đúng là:
• Vì:
11
 
1 0 3
A 1 2 B C
3 1 2
, ,
1 3
A
0 4
.
1 5
B
2 4
.
1 5
2 4
C.
1 3
0 4
D.
1 1 1 2 1 2 0 1
3 1 3 2 3 6 3 2
1 0 2 1 1 3
3 3 6 2 0 4
'
'
BA C
BA C
1 3
0 4
 'BA C
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC
12
2.2.2 Phần phụ đại số
2.2.3 Các tính chất của định thức
2.2.1 Định thức của ma trận vuông cấp n
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N
Định thức cấp 2: Cho ma trận vuông cấp 2:
Định thức của ma trận A được xác định theo công thức:
Ví dụ:
1 1
2 2
a b
A
a b
1 1
1 2 2 1
2 2
a b
a b a b
a b
 . .
2 3
2 5 3 4 2
4 5
13
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo)
Định thức cấp 3:
Định thức của ma trận cấp 3:
xác định bởi: 
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1
3 3 3
a b c
a b c a b c b c a c a b b a c a c b a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
14
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo)
Có thể nhớ cách lập biểu thức của theo quy tắc Sarrus
Ví dụ:
3 số mang dấu (+)
theo đường chéo chính
3 số mang dấu (-)
theo đường chéo phụ
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
. . . . .( ).( ) . .( ) . .( ) . .
2 3 1
5 0 4 2 0 3 2 3 4 5 1 1 2 0 1 2 4 1 5 3 3 8
2 1 3
15
v1.0018112205
2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo)
Định nghĩa 2.5
Định thức của ma trận vuông [aij]n n cấp n có dạng như sau:
Người ta còn có thể ký hiệu định thức của ma trận A là det(A).
... .
... .
. . ... . . .
... .
. . ... . . .
... .
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
i1 i2 ij in
n1 n2 nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
16
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho các ma trận . Định thức của ma trận A-B là:
A. 0
B. 1
C. 18
D. 6
• Đáp án đúng là: 1
• Vì:
17
1