Bài giảng Đồ họa và hiện thực ảo - Lesson 8: Mô hình bề mặt – Surface Các phương pháp xây dựng

CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
1
1
Mô hình bề mặt – Surface 
Các phương pháp xây dựng
Khái niệm
Constructive surface
Bề mặt tổng hợp
Bề mặt tam giác
Le Tan Hung
www.dohoavietnam.com
2
I. Các khái niệm cơ bản
z Mặt cong-Surface
Là quỹ đạo chuyển động của 1 đừơng cong tạo nên
z Biểu diễn tham biến cho mặt cong
– Dựa vào việc xây dựng và tạo bề mặt toán học trên những điểm dữ liệu
– Dựa trên việc xây dựng nên bề mặt phụ thuộc vào biến số có khả năng
thay đổi một cách trực diện thông qua các tương tác đồ hoạ. 
z Biểu diễn theo mảnh
– Biểu diễn miếng tứ giác - quadrilatera Patches
– Biểu diễn miếng tam giác-Triangular Patches
x=x(u,v,w) u,v,w E [0, 1]
y=y(u,v,w) u + v + w = 1
z=z(u,v,w) 
Q(u,v,w) = Q[ x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) ]
3
Ưu điểm dùng mặt lưới
‰ Cho phép phân tích sớm và dễ dàng các đặc tính của
bề mặt, đường cong của bề mặt và tính chất vật lý của
bề mặt.
‰ Cho phép xác định diện tích, xác định vùng của bề mặt
hay các môment của mặt.
‰ Với khả năng tô màu bề mặt trong thực tế cho phép
việc kiểm tra thiết kế đơn giản.
‰ Tạo ra các thông tin cần thiết cho việc sản xuất và tạo
ra bề mặt như code điều khiển số được dễ dàng thuận
tiện hơn nhiều so với các phương pháp thiết kế cổ
điển
4
Biểu diễn mảnh
tứ giác
z Phương trình
x=x(u,v)
y=y(u,v) u,v E [ 0, 1]
z=z(u,v) 
Q(u,v) = Q[ x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) ]
Thành phần
– u,v là các tham biến
– Các điểm Q(0,0) Q(0,1), Q(1,0), Q(1,1) là cận của mảnh
– Các đường cong Q(1,v), Q(0,v), Q(u,0), Q(u,1) là các biên của mảnh
– Đạo hàm riêng tại điểm Q(u,v) xác định vector tiếp tuyến theo hướng u, v
5
Kết nối mảnh tứ giác
z Thực thể hình học biểu diễn thông
qua các mảnh cùng dạng
z Các mảnh có thể nối với nhau theo
các hướng u,v khi 2 mảnh cùng
hướng đó
z Nếu mọi điểm trên biên của 2 mảnh = 
nhau, hay 2 biên = nhau. 2 mảnh liên
tục bậc Co
z Nếu 2 biên = nhau và đạo hàm bằng
nhau trên cùng 1 hướng thi 2 mảnh
gọi là kết nối bậc C1
6
Hệ tọa độ 
Barycentric Coordinates ?
Tập các điểm P1,P2 ... Pn
Tập các tổ hợp của các điểm đó
k1P1 + k2P2 + k3P3 ... + knPn
Với 
k1 + k2 + k3 + ... + kn =1
các điểm tạo thành không gian affine với các gias trị toạ 
độ nates
k1,k2,k3,..kn
được gọi là hệ toạ độ barycentric.
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
2
7
Tam giác 
Triangular
Trong tam giác các điểm có dạng P1, P2, P3
Hệ số: k1, k2, k3 E [ 0, 1]
k1 + k2 + k3 = 1
P = k1P1 + k2P2+ k3P3
Nếu Hệ số ki > 1 hoặc <0 điểm P sẽ nằm ngoài tam 
giác Q
Nếu Hệ số ki = 1 hoặc =0 điểm P sẽ nằm trên cạnh
tam giác
8
Bi-Linear
z Là mặt nội suy từ 4 điểm P00; P01; P10; P11 trong không gian
Với (u,v) [0; 1] [0; 1]
P(u,v) = (1 - u)(1 - v)P00 + (1 - u)vP01 + u(1 - v)P10 + uvP11
z Dùng để mô tả các đối tượng có hình dạng tứ giác như cờ, khăn ...
z Mở rộng cho các đối tượng cùng loại
9
Mô hình hoá các mặt cong
Surface Patches
zRuled Surface
zCoon-Boolean Sum
zSurface of Revolution
zSwept Surface 
– Extrusion
10
Ruled Surface
z Bề mặt được xây dựng bằng cách
cho trượt 1 đoạn thẳng trên 2 
đường cong 
z Các mặt kẻ nhận được bằng phép
nội suy tuyến tính từ hai đường
cong biên cho trước tương ứng
với hai biên đối diện của mặt kẻ
P1(u) và P2(u)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
1.5
2
2.5
3
Ruled Surface (Matke)
Duong cong Bspline
Duong cong Bezier
•Phương trình mặt kẻ:
Q(u,v) = P2(u)v + P1(u)(1-v)
Nếu hai đường cong cho trước tương ứng là P1(v) và P2(v)
Thì mặt kẻ có phương trình
Q(u,v) = P1(v)(1-u) + P2(v)u ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)(2
)(1
 u] u) - [(1 
vP
vP
11
Mặt tròn xoay
Revolution surface
z Mặt được xây dựng bởi đường
thẳng hay 1 đường cong phẳng, 
quanh một trục trong không gian
z Giả sử đường cong phẳng có dạng
P(t)=[x(t) y(t) z(t)] 0≤t≤tmax
z Ví dụ: quay quanh trục x một thực thể nằm trên mặt phẳng xy, phương
trình bề mặt là
Q(t, φ ) = [ x(t) y(t) cosφ z(t) sinφ ] πφ 20 ≤≤
12
VD - Mặt tròn xoay
P1[1 1 0] và P2[6 2 0] nằm trong mặt phẳng xy. Quay đường thẳng
quanh trục x sẽ được một mặt nón. Xác định điểm của mặt tại
t=0.5, φ =π/3.
Phương trình tham số cho đoạn thẳng từ P1 tới P2 là:
P(t) = [ x(t) y(t) z(t) ] = P1 + (P1 - P2)t 0 ≤ t ≤ 1
với các thành phần Đề-các:
x(t) = x1 + (x2- x1)t = 1+5t
y(t) = y1 + (y2- y1)t = 1+t
z(t) = z1 + (z2- z1)t = 0
Dùng phương trình
Q(1/2, π/3) = [ 1+5t (1+t)cosφ (1+t)sinφ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4
33
4
3
2
7
3
sin
2
3
3
cos
2
3
2
7 ππ
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
3
13
Mặt trượt - Sweept Surface 
z Sweep surface là mặt được tạo bởi
bằng cách trượt một thực thể
z ví dụ: một đường thẳng, đa giác, một
đường cong, một hình dọc theo một
đường trong không gian.
z Q(u,v) = P(u)*[ T(v) ]
P(u) thực thể cần trượt
[ T(v) ] là ma trận biến đổi([ T(v) ] có thể là
ma trận tịnh tiến, quay, hay tỉ lệ hoặc
là kết hợp của nhiều phép biến đổi đó) 
Ví dụ:
P1[0 0 0], P2[0 3 0]. 
P(t) = P1 + (P2 – P1)*u = [0 3u 0 1] 
0 ≤ u,v ≤ 1 ⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
ΠΠ−
ΠΠ=
10010
0)2cos()2sin(0
0)2sin()2cos(0
0001
)(
v
vv
vv
vT
14
0
2
4
6
8
10
-3
-2
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
2
4
6
8
10
-2
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Ví dụ về mặt Sweept
Extrusion
z Hình vuông xác định bởi 4 đỉnh : 
P1[0 -1 0], P2[0 -1 -1],
P3[0 1 -1], P4[0 1 1]
z Đường cong trượt
x= 10v y= cos(Πv) – 1
Quay 1 góc khi trượt
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
=
1110
1110
1110
1110
1110
4
3
2
1
)(
P
P
P
P
uP
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
−Π
=
101)cos(10
0100
0010
0001
)(
vv
vT
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
−Π
−
101)cos(10
0100
00)cos()sin(
00)sin()cos(
vv
ϕϕ
ϕϕ
15
Boolean sum
Coon surface
Mặt được xây dựng trên 4 điểm và
các đường cong biên
S(u,v) Mặt nội suy trên 4 đường biên
S(u; v) = S1(u, v) + S2(u, v) - P(u; v)
Với:
P(u,v) = (1-u)(1-v)P00 + (1-u)vP01 + u(1-v)P10 + uvP11
S1(u,v) = vA0(u) + (1-v)A2(u)
S2(u; v) = uA1(v) + (1-u)A3(v);
P là các đỉnh của mảnh 4
Ai(u) là các phươ