Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 7: Khảo sát ổn định hệ gián đoạn

1Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
I. Hàm truyền đạt của hệ gián đọan
1. Xác định theo phương trình sai phân
Quan hệ giữa tín hiệu ngõ vào và ngõ ra như sau
anc(k+n) + an-1c(k+n-1)+  + a0c(k) = bmr(k+m) + bm-1r(k+m-1)+  + b0r(k) 
Biến đổi z và áp dụng tính chất dời trong miền thời gian
(anzn + an-1zn-1 +  + a0)C(z) = (bmzm + bm-1zm-1 +  + b0) R(z) 
hay
0
1
1
0
1
1
...
...
)(
)(
azaza
bzbzb
zR
zC
n
n
n
n
m
m
m
m
Và PTĐT là F(z) = anzn + an-1zn-1 +  + a0 = 0 
2Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
2. Đại số sơ đồ phép biến đổi z
+ Nối tiếp các phần tử: 
- Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
G1(p) G2(p)
C*(p)
C1*(p)R(p)
R*(p)
Hàm truyền )().(
)(
)(.
)(
)(
)(
)(
21
1
1
zGzG
zR
zC
zC
zC
zR
zC
Trong đó : G1(z) = Z {G1(p)} và G2(z) = Z {G1(p)}
3Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
- Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
G1(p) G2(p)
C*(p)R(p)
R*(p)
Hàm truyền
Trong đó : G1G2(z) = Z {G1(p).G2(p)}
  )()().(
)(
)(
2121 zGGsGsGZzR
zC
Lưu ý : G1G2 (z) ≠ G1(z).G2(z). 
4Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
+ Khâu hồi tiếp. 
- Khâu hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
G(p)
R(p)
-
C(p)
H(p)
T
E*(p)E(p)
Ta có : E(p) = R(p) – G(p).H(p).E*(p) 
Rời rạc hóa E(p), vì khâu lấy mẫu là phần tử tuyến tính
nên : E*(p) = R*(p) – GH*(p).E*(p) 
)(*1
)(*)(*
pGH
pRpE
5Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
)(*1
)(*).()().(*)(
pGH
pRpGpGpEpC
Thực hiện phép biến đổi z ta có
)(1
)().()(
zGH
zRzGzC
Với GH(z) = Z{G(p).H(p)}
6Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
3. Xác định hàm truyền đạt của hệ rời rạc theo hàm truyền
đạt của hệ liên tục
Cho một hệ thống điều khiển kín như sau
G(p)
R(p)
-
C(p)
H(p)
T
E(p)
ZOH
ZOH là khâu giữ bậc 0 với :
p
epG
pT
ZOH
1)(
Hàm truyền của hệ liên tục
)().().(1
)().(
)(
)()(
pHpGpG
pGpG
pR
pCpM
ZOH
ZOH
7Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
Hàm truyền của hệ gián đọan
  
 )().().(1
)().()()(
pHpGpGZ
pGpGZpMZzM
ZOH
ZOH
  






p
pGZzpG
p
eZpGpGZ
pT
ZOH
)(.1)(.1)().( 1
Với:
 






p
pHpGZz
pHpG
p
eZpHpGpGZ
pT
ZOH
)()(.1
)().(.1)().().(
1
8Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
II. Ổn định của hệ gián đọan
1. Điều kiện ổn định trong mặt phẳng z
+ Trong mặt phẳng phức : Re(p) <0 hay là nghiệm PTĐT 
nằm bên trái mặt phẳng phức
Do z = eTp nên :
Re(p) <0 | z | <1 
Hay nói cách khác, nghiệm của phương trình đặc trưng nằm
trong vòng tròn đơn vị : vòng tròn có bán kính bằng 1 
Kết luận : Hệ thống rời rạc ổn định | z | < 1
9Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
Re(p)
Im(p)
Mặt phẳng phức
TMP
Re(z)
Im(z)
j
1
-j
-1
Mặt phẳng z
Vòng tròn
đơn vị
z = eTp
10
Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
2. Các tiêu chuẩn ổn định
a. Tiêu chuẩn Routh Hurwith cải tiến
+ Tiêu chuẩn Routh (Hurwitz) : xét nghiệm nằm bên trái hay 
bên phải mặt phẳng phức
 Muốn áp dụng tiêu chuẩn Routh (Hurwitz) thì phải biến miền
bên trong của vòng tròn đơn vị thành bên trái mặt phẳng z 
Phép biến đổi song tính
1
1'
1'
1'
z
zzhay
z
zz
Tiêu chuẩn Routh (Hurwitz) được áp dụng đối với phương trình
đặc trưng đã được biến đổi F(z’) = 0 
11
Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
b. Tiêu chuẩn Jury 
Cho phương trình đặc trưng: F(z) = anzn + an-1zn-1 +  + a0 = 0 
Bảng Jury được thiết lập như sau
+ Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc trưng theo thứ tự
chỉ số giảm dần
+ Hàng chẵn bất kỳ gồm các hệ số của hàng lẻ ngay trước đó
viết theo thứ tự ngược lại
+ Hàng lẻ thứ i = 2k+1 gồm có (n-k+1) phần tử, phần tử cij được
xác định bởi công thức
3111
3212
12
1
kjn,i,i
kjn,i,i
,i
ij cc
cc
c
c
Tiêu chuẩn Jury : Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất
cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương
12
Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
c. Phân tích ổn định dùng giản đồ Bode 
Thực hiện phép biến đổi song tuyến tính
1
12
z
z
T
w hay 
wT
wTz
)2/(1
)2/(1
Thực hiện các phép biến đổi: G(p) G(z) G(w) ta thay w = jv
và được G(jv)
Vẽ giản đồ Bode với G(jv) và áp dụng tiêu chuẩn ổn định dung 
giản đồ bode như trong hệ tuyến tính liên tục. (PDT >0 và BDT >0) 
13
Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
d. Ổn định dùng Quỹ đạo nghiệm
Cách vẽ quỹ đạo nghiệm tương tự như vẽ quỹ đạo nghiệm của
hệ tuyến tính liên tục với thời gian lấy mẫu T 
Điều khác biệt giữa hai hệ thống là miền ổn định
Trong hệ liên tục tuyến tính thì miền ổn định là TMP
Còn trong hệ gián đọan là vòng tròn đơn vị
III. Chất lượng hệ thống rời rạc. 
1. Đáp ứng quá độ: ngõ ra c(k) khi k = 0 .. 
Sử dụng các phương pháp biến đổi z ngược đã giới thiệu trong
chương 6.
14
Chương 7. Khảo sát ổn định hệ gián đọan.
Điều khiển tự động
2. Cặp cực quyết định:
Là cặp cực gần vòng tròn đơn vị nhất. Đối với hệ bậc cao thì có
thể xấp xỉ bằng hệ bậc 2 với 2 cực là cặp cực quyết định.
Giả sử cặp cực quyết định của hệ rời rạc có dạng: z = r.e j 
Sử dụng định nghĩa về phép biến đổi z: z = eTp ta suy ra được cặp
nghiệm p1,2 là: ln(r) j. = T.p
21    nn jT
.j
T
rlnp
 22
22
1
 
  rln
Trln
rln
n
Các công thức tính thời gian quá độ, độ vọt lố đối với hệ bậc hai
sử dụng tương tự như trong hệ tuyến tính liên tục.
 )z(Ezlim)k(elime
zk
xl
1
1
1 
 Sai số xác lập: