Vấn đề duy nhất của hàm phân hình đối với các cặp điểm

105TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 34, tháng 05 năm 2019
VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH ĐỐI VỚI CÁC CẶP ĐIỂM
Nguyễn Thị Thu Hằng 
Khoa Toán
Email: hangntt82@dhhp.edu.vn
Ngày nhận bài: 18/3/2019
Ngày PB đánh giá: 24/4/2019
Ngày duyệt đăng: 26/4/2019
TÓM TẮT 
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh được rằng nếu hai hàm phân hình khác 
hằng f và g trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược của 5 giá trị phân biệt thì 
f = g (Định lý 5 điểm) và Định lý 4 điểm: nếu hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược của 4 
điểm phân biệt thì sẽ là một biểu diễn phân tuyến tính của nhau. Từ đó, vấn đề duy nhất về 
hàm phân hình được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Trong bài báo này, chúng 
tôi giới thiệu về các định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna gồm Định lý cơ bản thứ nhất, 
Định lý cơ bản thứ hai. Từ đó, chúng tôi sử dụng để thiết lập và chứng minh cho định lý về 
sự xác định duy nhất của hàm phân hình khi có cùng ảnh ngược của 6 cặp điểm. 
Từ khóa: lý thuyết Nevanlinna, vấn đề duy nhất cho hàm phân hình.
UNIQUE PROBLEM FOR MEROMORPHIC FUNCTION 
SHARING PAIRS OF VALUES
ABTRACT
In 1926, R. Nevanlinna proved the well-known Five-point Theorem: “Let f and g be two 
meromorphic functions on  . If 1 1( ) ( )i if a g a
− −= for five distinct points a
i
 ( i = 1, . . . , 5), 
then f = g”. Since then such the similar unique property of meromorphic functions has 
been studied extensively. In this paper, we introduced The first theorem and The Second 
theorem of Nevanlinna theory. Thus, we established the theorem of unique problem for 
meromorphic function sharing 6 pairs of values. 
Keywords: Nevanlinna theory, uniqueness problem.
1. GIỚI THIỆU 
Cho hai hàm phân hình f , g và cho a và b là hai giá trị phức bất kì. Ta nói rằng hai hàm 
phân hình f và g có cùng ảnh ngược đối với cặp giá trị (a, b) nếu thỏa mãn: 0( )f z a= khi 
106 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
và chỉ khi 0( )f z b= với 0z ∈ . Trong trường hợp khi 0z là nghiệm bậc p của phương 
trình ( )f z a= và 0z là nghiệm bậc q của phương trình ( )f z b= , khi đó ta nói f và g có 
cùng ảnh ngược đối với cặp điểm (a,b) tính cả bội nếu p q= với mọi điểm 0z . Khi ta không 
xét đến bội giống nhau thì ta nói f và g có cùng ảnh ngược đối với cặp điểm (a,b) không tính 
bội. Ta nói hai hàm phân hình f và g có cùng ảnh ngược của giá trị a nếu f và g có cùng ảnh 
ngược đối với cặp giá trị (a, a).
Cho hai hàm phân hình f và g trên mặt phẳng phức. Ta nói g là một biểu diễn phân tuyến 
tính của f nếu tồn tại các giá trị phức a, b, c, d thỏa mãn 0ad bc− ≠ sao cho af bg
cf d
+=
+ .
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh được rằng nếu hai hàm phân hình khác hằng 
f và g trên mặt phẳng phức  có cùng ảnh ngược của 5 giá trị phân biệt thì f = g (Định lý 5 
điểm) và Định lý 4 điểm:
Định lý 1: Cho hai hàm phân hình khác hằng f và g trên mặt phẳng phức và bốn điểm 
phân biệt { }1 2 3 4, , , .a a a a ∈ ∪ ∞ Nếu 
j jf a g a
υ υ− −= với 1,2,3,4j = thì g là một biểu diễn phân 
tuyến tính của f. 
Ở đây, tác giả xét đối với các cặp điểm chung, tiếp tục nghiên cứu vấn đề duy nhất 
của hàm phân hình, chúng tôi đưa ra một chứng minh cho định lý về vấn đề duy nhất cho 
hàm phân hình có cùng ảnh ngược không tính bội của 6 cặp giá trị phân biệt thì sẽ là một 
biểu diễn phân tuyến tính của nhau.
Chúng tôi lưu ý rằng, nếu thay giải thiết 6 cặp điểm thành 5 cặp điểm thì kết quả không 
còn đúng nữa (qua ví dụ 1 mục 4). Tuy nhiên, một số kết quả của các tác giả đã chỉ ra rằng 
nếu thay bằng giả thiết 5 điểm trong đó có một số điểm tính bội và một số điểm không tính 
bội thì định lý vẫn đúng.
2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM, KÍ HIỆU, CÔNG THỨC VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
2.1. Divisor
Định nghĩa 1: [6] Một divvisor trên U với hệ số trong là một biểu thức có dạng hình thức:
{ } ;z zυ υ υ υλ λ ∈∑   rời rạc trong U.
Định nghĩa 2: [6] Cho U là một miền trong . Một hàm f xác định trên U được gọi là hàm 
phân hình nếu với mỗi , tồn tại lân cận mở V chứa a, V U⊂ liên thông và tồn tại các hàm 
chỉnh hình g, h trên V, sao cho 
g
f
h
= trên V. 
Cho f là một hàm phân hình trên U. Khi đó với mỗi ta có biểu diễn địa phương 
(z) (z a) ( ), , ( ) 0,mf g z m g a= − ∈ ≠ ( )g z là một hàm chỉnh hình.
 Nếu 0m > ta nói a là một không điểm bậc m (bội m) của f. 
107TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 34, tháng 05 năm 2019
 Nếu 0 m < ta nói a là một cực điểm bậc m của f.
 Định nghĩa 3: [6] Cho f là hàm phân hình trên { } 1, U aυ υ∞= và { } 1 bυ υ
∞
=
 lần lượt là tập các không 
điểm và cực điểm của f trên , U aυ là không điểm bậc của f, là cực điểm bậc (với) của f. Ta định 
nghĩa các divisor không điểm và các divisor cực điểm của f và divisor sinh bởi hàm f lần lượt 
như sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0
 ; ; f a f b f f f
υ υ
υ υ υ υ
λ µ
λ µ
∞ ∞
> <
= = − = −∑ ∑ .
2.3. Các hàm Nevanlinna của hàm phân hình:
Hàm đếm:
Cho D zυ υµ=∑ là một divisor trên , với mỗi số tự nhiên 0k > hoặc k = +∞ ta định nghĩa 
hàm đếm của D được ngắt bởi k:
[k]
1
( ,D)
( , ) , 1.
r
kn tN r D dt r
t
= >∫
Ở đó:
( ) { } ( ) ( )
, min , ; , ,k
z t z t
n t D k n t D n t D
υ υ
υ υµ µ+∞
< <
= = =∑ ∑ .
Ta dùng các kí hiệu N(r,D) thay cho ( , )N r D+∞ là hàm đếm với bội không bị chặn.
Cho f là một hàm phân hình trên hàm đếm a - điểm của f được định nghĩa bởi:
0
1
1 1
( , , ) : , ,
1 1 1 1
log log .
2 ( ) 2 ( )z r z
N f a r N r N r
f a f a
d d
f z a f z a
θ θ
π π
∞
= =
      
= −       − −     
= −
− −∫ ∫
:
Cho f là một hàm phân hình khác đồng nhất 0 trên hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi:
1
( , ) : log ( ) .
2 z r
m r f f z dz
π
+
=
= ∫
Trong đó, log max{log x,0}x+ = .
Hàm xấp xỉ của f ứng với điểm a∈ được định nghĩa là: 1,m r
f a
 
 − 
.
Hàm đặc trưng: 
Cho f là một hàm phân hình khác đồng nhất 0 trên , hàm đặc trưng Nevanlinna của f được 
định nghĩa bởi:
( , ) ( ) : ( ,( ) ) ( , ).fT f r T r N r f m r f∞= = +
2.4. Một số định lý cơ bản của Nevanlinna 
Định lý 2: [1] Định lý cơ bản thứ