Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

86 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
PHƯơNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BấT 
ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CấP
 Hồ phi Tứ 
 Khoa Toán 
 Email: tuhp@dhhp.edu.vn
Ngày nhận bài: 12/6/2019
Ngày PB đánh giá: 08/8/2019
Ngày duyệt đăng: 16/8/2019
TÓM TẮT
Trong bài báo này chúng tôi áp dụng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng 
thức biến phân hai cấp ( ), ,BVI C F G . Đây là một phương pháp mới để giải bài toán này. So với các 
phương khác thì phương pháp dưới đạo hàm tăng cường có ưu việt là trong thuật toán chỉ cần một phép 
chiếu trên C, phép chiếu thứ hai được chiếu lên một nửa không gian. Do đó phương pháp này cho kết 
quả tính toán nhanh hơn. Chúng tôi chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới nghiệm của bài 
toán trên không gian Hilbert thực. 
Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân hai cấp, đơn điệu mạnh , dưới đạo hàm 
tăng cường, liên tục Lipschitz.
A SUB-EXTRAGRADIENT METHOD FOR BILEVEL VARIATIONAL INEQUALITY pROBLEMS
ABSTRACT
In this paper, we introduce a method for solving bilevel variational inequality problems. With this method, 
we need only one projection on C. Therefore, it gives faster calculation results. This is a new iteration 
algorithm and we show that these problems can be solved by subgradient extragradient iteration method. We 
obtain a strong convergence of iteration sequences generated by this method in a real Hilbert space.
Key words. Variational inequality problem, bilevel variational inequalities problem, strongly monotone, 
sub- extragradient, Lipschitz continuous.
1. GIỚI THIỆU
Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực  . Bài toán 
bất đẳng thức biến phân ( ),VI C F có dạng 
Tìm *x C∈ sao cho ( )* , * 0F x x x x C− ≥ ∀ ∈ ,
Trong đó :F Ω→ là ánh xạ đi từ Ω vào  gọi là ánh xạ giá, Ω là C hoặc  .
Trong bài báo này chúng tôi quan tâm tới bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, là 
bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán biến phân khác ([1], [5]). 
Được tóm tắt như sau: Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert 
thực 
Tìm * (C,G)x Sol∈ sao cho ( )* *(x ), y x 0 , ,F y Sol C G− ≥ ∀ ∈ (1.1)
trong đó :F →  và ( ),Sol C G là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 
( ),VI C G với G cũng là ánh xạ từ  vào  và bài toán này được ký hiệu vắn tắt là
87Tạp chí khoa học, Số , tháng 09 năm 2019
( ), ,BVI C F G . Bài toán này cũng nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong 
nước cũng như trên thế giới và có nhiều thật toán được đưa ra. Những ban đầu chỉ là các 
thuật giải trong các trường hợp riêng của bài toán như trương hợp ;F f G g= ∇ = ∇ với f, 
g là các các hàm lồi khả vi và khí đó bài toán ( ), ,BVI C F G chính là bài toán cực tiểu hai 
cấp. Một trường hợp khác là (x) xF = khi đó ( ), ,BVI C F G trở thành bài toán tìm chuẩn 
nhỏ nhất trên tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán này được Yao, Y. sử 
dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải. Thuật toán được tóm tắt như sau: 
( )
( )
0
1
,
(x ) ,
(x ) (y ) .
k k k k
C k
k k k k k
C
x C
y P x G x
x P x G x
λ α
λ µ+
 ∈ = − −

= − + −
Với điều kiện hàm G đơn điệu mạnh ngược, khi đó dãy {x }k hội tụ mạnh về nghiệm 
( )* (C,G) 0Solx P= . Gần đây tác giả Anh P.N. và các cộng sự ([2]) đề xuất một thuật toán 
giải bài toán ( ), ,BVI C F G bằng sự kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường và lý 
thuyết điềm bất động của ánh xạ không giãn. Thuật toán bao gồm các bước sau: 
Bước 1.Tính ( )(x )k k kC ky P x Gα= − và ( )(y )k k kC kz P x Gα= − 
Bước 2. Vòng lặp trong: xác định kh 
( )
( )
,0
, , ,
, 1 ,0 , , ,
(z ),
(x ) ,
(y ) .
k k k
k j k j k j
C j
k j k k j k j k j
j j j C j
x z F
y P x G
x x x P x G
λ
δ
α β γ δ+
 = − = −

= + + −
Nếu ( ), 1 ,0(C, )k j k kSol Gx P x ε+ − ≤ thì đặt , 1k k jh x += và đi đến bước 3. Ngược lại tăng 
j: = j+1
Bước 3. Đặt 1k k kk k kx u x hα β γ
+ = + + . Tăng k lên 1 và quay lại bước 1.
Trong đó F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz; G giả đơn điệu và liên tục Lipschitz 
trên C cùng với các tham số được chọn thích hợp. Khi đó các dãy {x }k và {z }k cùng 
hội tụ về nghiệm của bài toán ( ), ,BVI C F G . Tuy nhiên tại mỗi bước lặp ta chỉ tìm được 
nghiệm xấp xỉ của bài toán.
 Ta có các định nghĩa ([3], [4])
Ÿ Ánh xạ :F →  được gọi là β - đơn điệu mạnh trên , nếu tồn tại 0β > sao cho
( ) ( ) 2, , .F x F y x y x y x yβ− − ≥ − ∀ ∈
Ÿ Ánh xạ :F →  được gọi là L - liên tục Lipschitz trên , nếu tồn tại 0L > 
sao cho
( ) ( ) , .F x F y L x y x y− ≤ − ∀ ∈�
Ÿ Ánh xạ G : →  được gọi là η - đơn điệu mạnh ngược trên , nếu tồn tại 
0η > sao cho
88 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
( ) ( ) ( ) ( ) 2, , .G x G y x y G x G y x yη− − ≥ − ∀ ∈
 Ta giả thiết các ánh xạ , :F G →  của bài toán bất đẳng thức biến phân hai 
cấp (1.1) thỏa mãn các điều kiện:
( )1 :A F là β - đơn điệu mạnh và L - liên tục Lipschitz trên . 
( )2 :A G là η - đơn điệu mạnh ngược trên . 
II. THUẬT TOÁN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ
Thuật toán 2.1.
Bước 0. Chọn 0
2
2
, 0 ,x
L
βµ∈ < < các dãy { } ( )0,1kα ⊂ và { }kλ sao cho
{ } [ ] ( )
0
lim 0, ,
, 0; .
k kk n
k a b
α α
λ η
∞
→∞ =
 = ∑ = ∞

 ⊂ ⊂
Bước 1. Tính ( )( ) ( )( ), ,
k
k k k k k k
C k Ty P x G x z P x G yλ λ= − = −
(k = 0, 1, 2,)
trong đó ( ){ }: , 0 .k k k kkT x G x y yω λ ω= ∈ − − − ≤
Bước 2. Tính 
( )1 ,k k kkx z F zα µ
+ = −
Nếu 1k kx x+ = thì dừng thuật toán và khi đó kx là nghiệm của bài toán ( ), ,BVI C F G .
Ngược lại, k := k + 1 và quay lại Bước1.
Nhận xét 2.1. Ở thuật toán 2.1, ta có thể chọn, chẳng hạn, 
1
.
3k k
α =
+
 Khi đó dễ 
dàng thấy rằng { } ( )0,1 ,kα ⊂ lim 0kk α→∞ = và 0 .kk α
∞
=
∑ = ∞ 
 Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng một số bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. ([7]) Giả sử :G →  là η - đơn điệu mạnh ngược trên . Khi đó G 
là 
1
η
- liên tục Lipschitz và tập nghiệm ( ),Sol C G của bài toán bất đẳng thức biến phân 
(