Phân tích mất ổn định Flutter của dầm cầu bằng phương pháp trị riêng phức

Tạp chí Khoa học và Công nghệ 52 (2) (2014) 229-240 
PHÂN TÍCH MẤT ỔN ĐỊNH FLUTTER CỦA DẦM CẦU 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỊ RIÊNG PHỨC 
Nguyễn Văn Khang1, Trần Ngọc An2,* 
1Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 1 Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội 
2Trường Đại học Hàng hải Việt Nam, Hải Phòng 
*Email: an9991hh@gmail.com 
Đến Tòa soạn: 20/8/2013; Chấp nhận đăng: 19/3/2014 
TÓM TẮT 
Phương pháp trị riêng phức là một trong các phương pháp được sử dụng phân tích mất ổn 
định flutter của kết cấu chịu tác dụng của các lực khí động. Trong bài báo này, áp dụng phương 
pháp trị riêng phức xây dựng thuật toán và chương trình tính tần số flutter và vận tốc flutter của 
cầu dầm chịu tác dụng của gió, sử dụng phần mềm MATLAB. Tác dụng của gió lên cầu Vàm 
Cống, một cây cầu lớn dự kiến xây dựng tại Việt Nam, được nghiên cứu trên quan điểm ổn định 
flutter với các chuyển vị uốn và chuyển vị xoắn. 
Từ khóa: mất ổn định flutter, phương pháp trị riêng phức, mô phỏng số, dao động của cầu. 
1. MỞ ĐẦU 
Các ảnh hưởng của tải trọng gió lên các công trình cầu khẩu độ lớn, nhà cao tầng, tháp vô 
tuyến truyền hình ngày càng được quan tâm nghiên cứu. Ở Việt Nam các nghiên cứu về tác 
dụng của gió lên công trình còn ít. Trên thế giới sau sự sụp đổ của cầu Tacoma Narow tại Mỹ 
vào năm 1940 do mất ổn định flutter, hiện tượng khí động học và khí đàn hồi đã được quan tâm 
nghiên cứu nhiều hơn. Đặc biệt, mất ổn định flutter (hay còn được gọi là mất ổn định uốn xoắn 
do lực khí động) được quan tâm nghiên cứu đối với các cầu dây văng, dây võng khẩu độ lớn. 
Mất ổn định flutter là một trong những lo ngại chính khi thiết kế và xây dựng cầu có khẩu độ 
lớn. Khác với dao động công trình gây ra bởi động đất,trong bài toán dao động công trình gây ra 
bới tải trọng gió, phải xét đến sự tương tác giữa kết cấu và ngoại lực. 
Trong hai thập kỉ cuối của thế kỉ 20, rất nhiều cầu dây văng và cầu dây võng khẩu độ lớn đã 
được xây dựng thành công trên thế giới. Các cây cầu với chiều dài nhịp siêu lớn với kết cấu 
thanh mảnh sẽ là xu hướng chính của các nghiên cứu và sự phát triển của kỹ thuật cầu đường 
trong các thập kỉ tới. Tuy nhiên các kết cấu càng dài, càng mảnh sẽ đối diện với rất nhiều khó 
khăn, đặc biệt là các tác dụng động lực học, động đất và các ứng xử khí động. Thực tế chỉ ra rõ 
ràng là các cầu có chiều dài nhịp lớn rất nhạy cảm với các ảnh hưởng khí động và dao động gây 
ra bởi gió. 
Trong những năm gần đây, một số lượng lớn các cầu dây văng đã được xây dựng tại Việt 
Nam (cầu Mỹ Thuận, cầu Bính, cầu Bãi Cháy, cầu Cần Thơ, cầu bắc qua sông Hàn, cầu Phú Mỹ, 
Nguyễn Văn Khang, Trần Ngọc An 
230 
cầu Cao Lãnh, cầu Rạch Miễu, ...). Nhiều cầu mới đang chuẩn bị xây dựng như cầu Nhật Tân, 
cầu Vàm Cống,Việt Nam là một đất nước chịu ảnh hưởng nhiều của gió và bão. Do đó việc 
nghiên cứu mất ổn định flutter của cầu dây nhịp lớn là bài toán cần phải quan tâm nghiên cứu. 
Trong khoảng hơn hai mươi năm trở lại đây việc nghiên cứu về dao động của công trình 
dưới tác dụng của gió đã có nhiều tiến bộ. Trong lĩnh vực nghiên cứu ảnh hưởng của lực khí 
động lên công trình việc xác định các hằng số flutter là rất quan trọng. Các phương pháp thí 
nghiệm trong hầm gió và kỹ thuật động lực học chất lỏng tính toán là các hướng nghiên cứu 
chính về xác định các hằng số flutter và kháng gió cho công trình. 
Để xác định vận tốc flutter của cầu, có hai phương pháp giải tích hay dùng: phương pháp trị 
riêng phức [1, 2] và phương pháp bước (step-by-step) [3-8]. Bài báo này trình bầy việc áp dụng 
phương pháp trị riêng phức [1, 2] để tính toán sự mất ổn định flutter của cầu dây văng có chiều 
dài nhịp lớn. Để minh họa thuật toán đã tiến hành tính toán vận tốc flutter của cầu Vàm Cống, 
một cầu dây văng sẽ được xây dựng tại Việt Nam. 
2. THUẬT TOÁN TRỊ RIÊNG PHỨC TÍNH TOÁN TẦN SỐ FLUTTER HỆ DAO ĐỘNG 
UỐN XOẮN 2 BẬC TỰ DO 
Các phương trình dao động uốn xoắn của mô hình 2 bậc tự do có thể được viết như sau [1, 
2] (hình 1) 
 ( ) ( ) ( )h h hmh t c h t k h t L+ + =ɺɺ ɺ (1) 
 ( ) ( ) ( )I t c t k t Mα α αα α α+ + =ɺɺ ɺ (2) 
trong đó: h là chuyển vị uốn, α là chuyển vị xoắn, , ,h hm c k lần lượt là khối lượng, hệ số cản 
và độ cứng tương ứng với chuyển vị uốn. , ,I c kα α lần lượt là momen quán tính khối, hệ số cản 
và độ cứng tương ứng với chuyển vị xoắn, ,hL Mα là lực nâng và momen xoắn khí động. 
Các thành phần lực khí động ,hL Mα có thể được xác định thông qua hàm tuần hoàn 
Theodorsen hoặc các tham số flutter của Scanlan theo miền tần số [1, 2]. Các lực khí động biểu 
diễn theo tác giả Scanlan có thể được áp dụng với các phương trình flutter cho các dạng mặt cắt 
ngang khác nhau nhờ vào các tham số flutter được xác định bằng thực nghiệm. Theo Scanlan 
[1], các thành phần lực khí động tác dụng lên một đơn vị chiều dài của dầm có dạng như sau: 
2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2h
h B hL U B KH K KH K K H K K H K
U U B
αρ α = + + + 
 
ɺ ɺ
 (3) 
2 2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2
h B hM U B KA K KA K K A K K A K
U U Bα
αρ α = + + + 
 
ɺ ɺ
 (4) 
Phân tích mất ổn định flutter của dầm cầu bằng phương pháp trị riêng phức 
231 
Hình 1. Mô hình tính toán. 
Trong đó ta đưa vào khái niệm tần só thu gọn K xác định bởi công thức 
BK
U
ω
= (5) 
trong đó: B là chiều ngang của dầm, ω là tần số vòng. Nghiệm hệ phương trình (1), (2) được 
tìm dưới dạng 
 0 0;
i th h e h Cω= ∈ (6) 
 0 0;
i te Cωα α α= ∈ (7) 
Việc xác định tần số phức 1 2iω ω ω= + cho ta biết tính chất dao động của hệ. Dao động 
của dầm là tắt dần khi 2 0ω > hoặc phát tán khi 2 0ω < . Trong trường hợp ω là một số thực 
(purely real), nghĩa là 2 10,ω ω ω≃ ≃ , dao động của dầm sẽ là dao động điều hoà và tần số 1ω 
được gọi là tần số flutter tới hạn. Vận tốc flutter tới hạn khi đó được tính theo công thức [1, 2] 
1
cr
BU
K
ω
= (8) 
Quá trình tìm tần số flutter tới hạn và vận tốc flutter tới hạn được thực hiện như sau. Trước 
hết thế các công thức lực khí động (3), (4) vào hệ phươn ... h trên với 2 2
2
Bρ ω
 và đặt 2 ;m
h
m X
B
ωγ
ρ ω
= = , chú ý rằng 
BK
U
ω
= , ta nhận được 
 ( ) ( )* * * *1 4 0 2 3 021 12 1 2 0m hi i H H h i H H BX Xγ ζ α
  
− + + − + − + =  
  
 (12) 
Thay (6), (7) vào phương trình (10) ta được 
( )2 2 2 2 * * 2 * 2 *0 0 00 0 0 1 2 3 0 412 2
h i B i hI i U B KA KA K A K A
U U Bα α α
ω α ω
α ω ζ ω α ω ω α ρ α − + + = + + + 
 
 (13) 
Từ phương trình trên suy ra 
( )
2 2 * 2 *
1 4 0
2 2 2 2 * 2 *
2 3 0
1 1
2
12 0
2
iU B KA K A h
U B
BiI i U B KA K A
Uα α α
ωρ
ω
ω ζ ω ω ω ρ α
 
− + + 
 
  
− + + − + =  
  
Nhân hai vế phương trình trên với 3 2
2
Bρ ω
 và đặt 4 ;I
h
I
B
α
ω
ωγ γ
ρ ω
= = , ta được 
 ( ) ( )2* * * *1 4 0 2 3 022 1 2 0I hiA A h i iA AX Xω ω
γ γγ ζ α  − + + − + + − + =  
  
 (14) 
Phân tích mất ổn định flutter của dầm cầu bằng phương pháp trị riêng phức 
233 
Hệ phương trình (12) và (14) là một hệ hai phương trình đại số tuyến tính thuần nhất với 
các ẩn 0h và 0α . Để hệ phương trình đại số tuyến tính (12) và (14) có nghiệm không tầm 
thường (dao động uốn và dao động xoắn có biên độ khác không) thì định thức ma trận hệ số phải 
triệt tiêu 
( )
( ) ( )
* * * *
1 4 1 42
2
* * * *
1 4 2 32
1 12 1 2
0
2 1 2
m h
I h
i i H H i H H
X X
iA A i iA A
X X
ω ω
γ ζ
γ γγ ζ
 
− + + − + + 
 
=
 
− + − + + − + 
 
 (15) 
Khai triển định thức trên ta nhận được hệ thức sau 
2 2
* *
2 32 2 4 3
* * 2 * *
2 3 2 3
2 2 3 2
2 * *
* * * *1 1
1 1 2 12
4 4 8 2 2 4 4 8
2 2 8 8 16 4 4
2 2 4
m I m I m I m I m I
m I m m
m m m h I m I h m I h m h m h
I I
I
i i A A i
X X X X X
A A A Ai i i i
X X X X X X X
H Hi H i H A iH A
X X
ω α ω ω α ω
ω α ω
ω α ω
γ γ γ γ γ ζ γ γ γ γ γ γ γ γ ζ γγ γ γ γ
γ γ γ ζ γ γ γ ζ γ γ γ ζ ζ γ γ ζ γ ζ
γ γ γ ζ γγ
− − + + − + +
− − − + − + −
+ − + − +
2 * *
* * 4 4
3 4 2
* * * * * * * * * * * *
4 2 4 3 2 1 2 4 3 1 3 4
2 2 4
0
I I
I
H HH i
X X
i H A H A H A i H A i H A H A
ω α ωγ γ γ ζ γγ+ − −
+ + + − − − =
 (16) 
Tách phương trình (16) thành hai phần thực và ảo, ta được hai phương trình riêng biệt. Phần 
thực của phương trình (16) có dạng 
( ) ( )
( )
* * * * * * * * * * * *
4 3 4 3 1 2 3 4 2 1 1 2
2 2 * * 2
4 3 2 3 4
14 2 2 4 4
1 1 14 4 16 2 2 0. 4 0
m I I m I m h
m I m I m I h I m m I
H A H A H A H A H A H A
X
H A
X X X
α ω
ω α ω ω ω
γ γ γ γ γ ζ γ γ ζ
γ γ γ γ γ γ γ ζ ζ γ γ γ γ γ γ γ
 + + + − − + + + 
+ − − − − − + + =
Nhân hai vế phương trình trên với 
4
4 m I
X
γ γ
 và đặt 
( )
2
0 1
2
2 * *
2 4 3
* *
3 1 2
* * * * * * * * * *
4 4 3 4 3 1 2 3 4 2 1
, 0
11 4
2 2
1
1 1 11
2 2 4
h
m I
h
m I
m I m I
R R
R H A
R H A
R H A H A H A H A H A
ω
ω
ω α ω
ω
α
γ
γγ ζ ζ γ
γ γ
γζ ζ
γ γ
γ γ γ γ
= =
= − − − − −
= +
= + + + − − +
Nguyễn Văn Khang, Trần Ngọc An 
234 
ta thu được phương trình đại số phi tuyến 
4 3 2
4 3 2 1 0 0R X R X R X R X R+ + + + = (17) 
Phần ảo của phương trình (16) có dạng 
( )
( )
( ) ( )
* * * * * * * * * *
1 2 4 2 1 3 3 1 2 4
* *
4 3
2 * * 2
1 2 2 3
2 2
18 8 4 4
1 12 2 8 8 0
I m
m h I m I I m h
I m m I h m I
H A H A H A H A H A
H A
X
H A
X X
α ω α ω
ω ω α ω
γ γ
γ ζ γ γ γ ζ γ γ ζ γ γ ζ
γ γ γ γ γ ζ γ γ γ ζ γ
 + + + − − 
+ − − − −
+ − − + + =
Nhân hai vế phương trình trên với 
3
4 m I
X
γ γ
 và đặt 
( )
2
0
2
* *
1 1 2
* *
2 4 3
* * * * * * * * * *
3 1 2 4 2 1 3 3 1 2 4
2 2
1
2 2
12 2
1 1 1
2 2 4
h
m I
h h
m I
m I m I
I
I H A
I H A
I H A H A H A H A H A
ω α ω
ω
ω
α ω α
ζ γ ζ γ
γ
γ γ
γζ ζ γ ζ ζ
γ γ
γ γ γ γ
= +
= − −
= − − − −
= + + + − −
ta thu được phương trình đại số phi tuyến 
3 2
3 2 1 0 0I X I X I X I+ + + = (18) 
Các nghiệm của các hệ (17), (18) được ký hiệu lần lượt là 
r
X và iX . Nghiệm chung đầu 
tiên của hệ hai phương trình này tương ứng với tần số mà tại đó hiện tượng flutter xảy ra. Dựa 
trên các công thức trên, chúng tôi đã xây dựng một phần mềm xác định tần số flutter của dầm 
cầu trong môi trường Matlab. 
3. PHÂN TÍCH MẤT ỔN ĐỊNH FLUTTER CỦA CẦU VÀM CỐNG 
Theo tài liệu [10], cầu Vàm Cống (hình 2) dự kiến được xây dựng cách bến phà Vàm 
Cống hiện hữu khoảng 1km về phía hạ lưu, thuộc phường Thới Thuận, quận Thốt Nốt, TP 
HCM, nối tuyến quốc lộ 80 từ Lộ Tẻ đi Rạch Sỏi (Kiên Giang) với quốc lộ 54 thuộc tỉnh Đồng 
Tháp. Cầu dài khoảng 2,9 km, bốn làn xe cơ giới, hai làn xe thô sơ, tổng vốn đầu tư trên 200 
triệu USD. 
Phân tích mất ổn định flutter của dầm cầu bằng phương pháp trị riêng phức 
235 
Hình 2. Hình ảnh cầu Vàm Cống. 
Để tính toán vận tốc flutter của cầu dây văng Vàm Cống, chúng tôi sử dụng các tham số 
hình học và các hằng số vật liệu của dầm cầu theo tài liệu [10]: 
3m 27.67x10 / ,kg m= 3 2I 1905x10 / ,kgm m= 0.2359 ,hf Hz= 0.5067 ,f Hzα =
0.0377,hδ = 0.0377αδ = 3, 25.8 , 1.25 / .B m kg mρ= =
Từ đồ thị của các * *,i iA H trong tài liệu [10] ta có thể thiết lập bảng các tham số flutter phụ 
thuộc vào /U fB (bảng 1). Từ đó dễ dàng có các biểu đồ các tham số khí động của cầu Vàm 
Cống (hình 3). 
Chú ý rằng công thức lực khí động của cầu Vàm Cống trong [10] có dạng 
2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2h
h B hL U B KH K KH K K H K K H K
U U B
αρ α = + + + 
 
ɺ ɺ
 (19) 
2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2
h B hM U B KA K KA K K A K K A K
U U Bα
αρ α = + + + 
 
ɺ ɺ
 (20) 
Do đó, để có thể áp dụng công thức (4) khi tính ta phải chia các *iA cho B . 
Từ nghiệm của các phương trình thực bậc bốn (17) và phương trình ảo bậc ba (18), ta có 
thể biểu diễn các giá trị của /U fB dưới dạng bảng như bảng 1. 
Bảng 1. Các tham số flutter của cầu Vàm Cống. 
/U fB 0 0,843 2,167 3,414 4,897 6,082 7,548 8,781 
*
1A 0 0,619 1,246 2,626 2,734 2,769 3,441 3,798 
/U fB 10,146 11,414 12,778 14,155 15,420 16,800 17,955 19,335 
*
1A 4,386 4,923 5,318 5,914 6,397 7,059 7,492 8,167 
Nguyễn Văn Khang, Trần Ngọc An 
236 
/U fB 20,566 21,767 23,143 24,630 
*
1A 8,444 9,298 9,845 10,5 
/U fB 0 0,941 2,316 3,595 4,969 6,297 7,572 8,873 
*
2A 0 0,144 -0,746 -0,702 0,726 2,108 2,528 2,309 
/U fB 11,487 14,162 15,421 18,027 19,273 20,761 22,067 23,390 
*
2A 3,236 3,383 3,898 4,434 4,372 3,983 3,749 3,267 
/U fB 24,653 
*
2A 2,713 
/U fB 0 0,954 2,232 3,500 4,960 6,312 7,623 8,905 
*
3A 0 0,337 0,787 3,720 5,367 7,524 10,262 13,503 
/U fB 10,226 11,514 12,782 14,110 15,451 16,658 17,933 19,169 
*
3A 17,750 21,791 26,732 32,352 39,049 44,929 51,144 59,637 
/U fB 20,638 21,791 23,163 
*
3A 69,651 78,541 90,643 
/U fB 0 0,971 1,973 3,553 4,940 6,266 8,806 10,226 
*
4A 0 -0,144 0,025 -0,535 -1,066 -1,165 -1,110 -1,074 
/U fB 11,530 12,907 14,054 15,425 16,677 18,021 19,220 20,592 
*
4A -1,051 -0,989 -0,935 -0,900 -1,014 -1,079 -0,880 -0,911 
/U fB 21,822 23,163 24,392 
*
4A -0,709 -0,593 -0,535 
/U fB 0 0,904 2,292 3,463 4,786 6,165 7,510 8,789 
*
1H 0 -0,116 -1,599 -1,872 -4,714 -7,676 -10,223 -12,647 
/U fB 10,136 11,454 14,059 15,419 16,655 17,964 19,268 20,631 
*
1H -15,035 -18,475 -24,479 -27,124 -30,747 -34,372 -37,259 -40,469 
/U fB 21,917 23,162 25 
*
1H -43,652 -46,730 -51,708 
/U fB 0 1,014 2,297 3,575 4,844 6,353 7,732 9,109 
*
2H 0 -2,100 -2,328 -4,770 -0,240 3,138 5,567 8,503 
/U fB 11,321 12,928 14,235 15,618 16,962 18,228 19,469 20,762 
*
2H 17,411 24,207 29,787 38,670 45,934 54,032 64,004 72,280 
/U fB 22,019 23,340 25 
*
2H 83,086 92,108 103,877 
/U fB 0 2,005 3,772 4,923 6,454 8,842 10,296 12,792 
Phân tích mất ổn định flutter của dầm cầu bằng phương pháp trị riêng phức 
237 
*
3H 0 0,526 -4,946 -11,175 -25,419 -41,725 -63,022 -101,908 
/U fB 15,369 18,048 19,428 20,752 22,096 23,290 25 
*
3H -158,565 -227,931 271,947 -317,519 -363,847 -413,634 -486,916 
/U fB 0 0,986 2,375 3,736 5,378 7,791 10,086 11,705 
*
4H 0 -0,293 -1,173 -2,575 -4,806 -6,134 -7,571 -8,657 
/U fB 13,045 14,457 15,674 16,747 18,044 19,331 20,829 22,132 
*
4H -9,496 -10,513 -11,171 -11,864 -13,608 -13,946 -15,484 -15,823 
/U fB 23,442 24,506 
*
4H -16,287 -17,227 
Hình 3. Biểu đồ các tham số khí động ( )* *, , 1,2,3, 4i iA H i = của cầu Vàm Cống. 
Nguyễn Văn Khang, Trần Ngọc An 
238 
Bảng 2. Nghiệm các phương trình thực và ảo theo /U fB trong trường hợp mặt cắt cầu Vàm Cống. 
/U fB 
r
X iX 
0 -2,1480 -1,000 2,1480 1,0000 - -1,4656 1,4656 
1 -2,1460 -1,0022 2,1461 1,0022 -13,9850 -1,3454 1,5743 
2 -2,1438 -1,0071 2,1445 1,0069 -2,6932 -0,7529 1,7799 
3 -2,1334 -1,0139 2,1344 1,0137 -2,4646 -0,5887 1,8327 
4 -2,1234 -1,0228 2,1250 1,0224 -2,3776 -0,3711 1,9611 
5 -2,1156 -1,0341 2,1183 1,0334 -2,3515 -0,2260 2,0804 
6 -2,1055 -1,0414 2,1092 1,0405 -2,3423 -0,1620 2,1413 
7 -2,0932 -1,0464 2,0980 1,0452 -2,3209 -0,1285 2,1620 
8 -2,0793 -1,0515 2,0851 1,0501 -2,2871 -0,1065 2,1595 
9 -2,0639 -1,0573 2,0708 1,0555 -2,2557 -0,0910 2,1506 
10 -2,0445 -1,0633 2,0523 1,0612 -2,2555 -0,0801 2,1621 
11 -2,0247 -1,0000 2,0339 1,0674 -2,2461 -0,0686 2,1668 
12 -2,0033 -1,0768 2,0138 1,0738 -2,2319 -0,0600 2,1635 
13 -1,9800 -1,0835 1,9918 1,0799 -2,2168 -0,0537 2,1567 
14 -1,9556 -1,6912 1,9688 1,0872 -2,2129 -0,0486 2,1585 
15 -1,9268 -1,0987 1,9411 1,0941 -2,2110 -0,0450 2,1605 
16 -1,8991 -1,1059 1,9148 1,1006 -2,2080 -0,0410 2,1617 
17 -1,8728 -1,1157 1,8904 1,1096 -2,2032 -0,0373 2,1613 
18 -1,8447 -1,1321 1,8644 1,1248 -2,1949 -0,0343 2,1571 
19 -1,8050 -1,1390 1,8260 1,1300 -2,1911 -0,0322 2,1551 
20 -1,7712 -1,1504 1,7940 1,1410 -2,1804 -0,0303 2,1469 
21 -1,7343 -1,1649 1,7594 1,1538 -2,1733 -0,0285 2,1419 
22 -1,6879 -1,1752 1,7150 1,1624 -2,1709 -0,0269 2,1407 
23 -1,6460 -1,1856 1,6756 1,1707 -2,1592 -0,0254 2,1306 
Loại bỏ các nghiệm âm và bằng không. Ta thấy phương trình thực (17) có hai nhánh 
nghiệm, phương trình ảo (18) có một nhánh nghiệm (hình 4). 
Phân tích mất ổn định flutter của dầm cầu bằng phương pháp trị riêng phức 
239 
Hình 4. Đồ thị các nghiệm của hai phương trình thực và ảo của cầu Vàm Cống. 
Do chỉ một nhánh của nghiệm phương trình thực cắt nghiệm của phương trình ảo, nên vận 
tốc flutter tới hạn là duy nhất. Điểm giao của hai đường nghiệm phương trình thực và ảo được 
xác định gần đúng là giao điểm của đoạn thẳng nối hai điểm (5; 2.1183) và (6; 2.1092) với 
đoạn thẳng nối hai điểm (5; 2.0804) và (6; 2.1413) . Nội suy tuyến tính ta tìm được tại vị trí 
điểm giao 
5.54144, 2.113374
h
U XfB
ω
ω
= = = 
Từ đó suy ra 
71.1765 ( / ), 3.13086( / )cr crU m s rad sω= = 
Trong tài liệu [10], vận tốc flutter tới hạn xác định bằng thực nghiệm là 48.1 /crU m s> . 
4. KẾT LUẬN 
Phương pháp phân tích trị riêng phức dẫn đến việc tìm giao của hai nhánh nghiệm thực và 
ảo khi cho định thức ma trận hệ số bằng không. Vị trí điểm giao tương ứng với vị trí dao động 
là điều hòa, phân tách thành hai miền dao động tắt dần và dao động phát tán. Trong bài báo này, 
áp dụng phương pháp phân tích trị riêng phức xây dựng một chương trình tính vận tốc flutter của 
cầu dầm sử dụng phần mềm MATLAB. 
Để minh họa thuật toán, đã áp dụng phương pháp trị riêng phức để tính toán tần số mất ổn 
định flutter của cầu dây văng Vàm Cống, nối tuyến quốc lộ 80 từ Lộ Tẻ đi Rạch Sỏi (Kiên 
Giang) với quốc lộ 54 thuộc tỉnh Đồng Tháp. Các kết quả tính toán phù hợp tốt với các kết quả 
thực nghiệm. 
Lời cảm ơn. Bài báo này được hoàn thành với sự giúp đỡ tài chính của Quỹ phát triển Khoa học và Công 
nghệ Quốc gia và Quỹ Nghiên cứu của Đức (DFG). 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Simiu E., Scanlan R. H. - Wind effects on structures, John Wiley & Sons, Inc., New York, 
1996. 
intersection
iX
1rX
2rX
Nguyễn Văn Khang, Trần Ngọc An 
240 
2. Starossek U. - Brückendynamik: Winderregte Schwingungen von Seilbrücken, Vieweg, 
Braunschweig/Wiesbaden, 1992. 
3. Matsumoto M., Nihara Y., Kobayashi Y., Sato H., Hamasaki H. - Flutter mechanism and 
its stabilization of bluff bodies, Proc. of 9th International Conference on Wind 
Engineering, 1995, pp. 827-838. 
4. Matsumoto M., Mizuno K., Okubo K., Ito Y., Matsumiya H. - Flutter instability and 
recent development in stabilization of structures, Journal of Wind Engineering and 
Industrial Aerodynamics 95 (2007) 888-907. 
5. Matsumoto M., Matsumiya H., Fujiwara Sh., Ito Y. - New consideration on flutter 
properties based on step-by-step analysis, Journal of Wind Engineering and Industrial 
Aerodynamics 98 (2010) 429-437. 
6. Le Thai Hoa - Flutter stability analysis: Theory and Example, 2004. 
7. Iwamoto M., Fujino Y. - Identification of flutter derivatives of a bridge deck from free 
vibration data, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 54/55 (1995) 
55-63. 
8. Banerjee J. R. - A simplified method for the free vibration and flutter analysis of bridge 
decks, Journal of Sound and Vibration 260 (2003) 829 -845. 
9. Inman D. J. - Engineering vibration (Edition), Prentice Hall, New Jersey, 2001. 
10. Cho N. C. (Project Manager) - Vam Cong Bridge Construction Project Under Central 
Mekong Delta Region Connectivity Project , Vol. II. 4 (2013) (Final Report). 
ABSTRACT 
FLUTTER INSTABILITY ANALYSIS OF BRIDGE DECK 
USING COMPLEX EIGENVALUE METHOD 
Nguyen Van Khang1, Tran Ngoc An2, * 
1Hanoi University of Science and Technology, Hanoi 
2Viet Nam Maritime University, Haiphong 
*Email: an9991hh@gmail.com 
Complex eigenvalue method is one of the methods used to analysis flutter instability of 
structures under the effect of the aerodynamic forces. In this paper, complex eigenvalue method 
is applied to build the program that calculates flutter frequency and flutter velocity of bridge 
deck under the effect of wind forces, using MATLAB software. The effect of wind on the Vam 
Cong Bridge, a major bridge to be built in Vietnam, was studied in view of flutter stability with 
vertical displacement and torsional displacement. 
Keywords: flutter instability, complex eigenvalue method, numerical simulation, vibration of 
bridge.