Nghiên cứu đặc tính khí động lực học của rotor đôi

18 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL - 
 ENGINEERING & TECHNOLOGY, VOL 1, ISSUE 3, 2018 
 
Tóm tắt—Bài báo này thảo luận về lý thuyết kết 
hợp giữa lý thuyết động lượng (Momentum theory) 
và phương pháp phần tử cánh (Blade Element 
theory) cho rotor đôi. Phương pháp này cho ra được 
các kết quả đầy đủ về phân bố tỉ số dòng vào, phân 
bố góc tấn dọc theo bán kính rotor cũng như các kết 
quả về hệ số lực đẩy, hệ số công suất cũng như hiệu 
suất hoạt động của rotor đôi một cách đầy đủ. Tỷ số 
dòng vào cho tầng rotor trên được áp dụng như đối 
với rotor đơn, trong khi tỷ số dòng vào cho tầng 
rotor dưới được chia thành hai vùng: chịu và không 
chịu ảnh hưởng bởi dòng từ rotor trên. Các kết quả 
được dẫn dắt với giả thuyết dòng từ tầng rotor trên 
phát triển hoàn toàn và vùng co thắt cực đại xuất 
hiện trước khi vào tầng rotor dưới. Hàm hao hụt 
Prandtl cũng được hiệu chỉnh cho vùng chuyển giao 
trên tầng rotor dưới giữa vùng chịu và không chịu 
ảnh hưởng bởi tầng rotor trên. Kết quả hiệu chỉnh và 
tính toán cho các hệ số lực đẩy, công suất, tỷ số dòng 
vào và hiệu suất của rotor đuôi cho thấy sự phù hợp 
kết quả thực nghiệm. Từ những kết quả của phương 
pháp kết hợp phương pháp động lượng và phần tử 
cánh (Blade Element Momentum Theory - BEMT), 
một giải thuật tối ưu hiệu suất rotor đôi sẽ được 
trình bày. Giải thuật tối ưu này áp dụng cho rotor 
xoắn tuyến tính để tìm ra phân bố góc xoắn mang lại 
hiệu suất cao nhất cho rotor đôi. 
Từ khóa—Rotor đôi, lý thuyết kết hợp, BEMT, tối 
ưu, hiệu chỉnh, hiệu suất. 
Ký hiệu 
A Diện tích rotor ( cho 1 rotor) 
c
A Diện tích dòng sau ảnh hưởng lên rotor 
dưới 
c Chiều dài dây cung cánh 
d
C Hệ số lực cản 
od
C Hệ số lực cản khi lực nâng bằng 0 
Ngày nhận bản thảo: 07-3-2017; Ngày chấp nhận đăng: 07-8-
2017; ngày đăng: 30-12-2018 
Nghiên cứu được tài trợ bởi Trường Đại học Bách Khoa - 
ĐHQG-HCM trong khuôn khổ Đề tài mã số T-KTGT-2017-60. 
Đặng Trung Duẫn, Vũ Ngọc Ánh - Khoa Kỹ Thuật Giao 
Thông, Trường Đại Học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia TP. Hồ 
Chí Minh (e-mail: vungocanh@hcmut.edu.vn). 
lC Hệ số lực nâng 
lC Độ dốc dường lực nâng 
TC Hệ số lực đẩy 
uT
C Hệ số lực đẩy của rotor phía trên 
lT
C Hệ số lực đẩy của rotor phía dưới 
PC Hệ số công suất của rotor 
Pi
C Hệ số lực công suất cảm sinh của rotor 
Po
C Hệ số công suất hình dạng 
PiU
C Hệ số công suất cảm sinh của rotor trên 
PiL
C Hệ số công suất cảm sinh của rotor dưới 
PoL
C Hệ số công suất hình dạng của rotor dưới 
PoU
C Hệ số công suất hình dạng của rotor trên 
QC Hệ số moment xoắn 
F Hàm mất áp tại đỉnh rotor 
FM Hệ số chất lượng 
l
FM Hệ số chất lượng của rotor dưới 
u
FM Hệ số chất lượng của rotor trên 
bN Số lá cánh của từng rotor 
P Công suất của rotor 
uP Công suất của rotor trên 
lP Công suất của rotor dưới 
r Khoảng cách bán kính vô thứ nguyên 
R Bán kính rotor 
T Lực đẩy rotor 
u
T Lực đẩy rotor trên 
lT Lực đẩy rotor dưới 
Q Moment xoắn của rotor 
hv Vận tốc cảm sinh của rotor khi bay treo 
V Vận tốc dòng tự do 
c
V Vận tốc bay leo 
iv Vận tốc cảm sinh của rotor 
uv Vận tốc cảm sinh của rotor dưới 
w Vận tốc dòng trượt sau 
W Trọng lực của tác động lên rotor 
 Góc đặt cánh của rotor 
Nghiên cứu đặc tính khí động lực học 
của rotor đôi 
Đặng Trung Duẩn, Vũ Ngọc Ánh* 
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - 19 
KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ, TẬP 1, SỐ 3, 2018 
u Góc đặt cánh của rotor trên 
l Góc đặt cánh của rotor dưới 
 Góc dòng vào 
tr Non-dimensional root loss along blade 
cr Non-dimensional boundary location vena 
contracta 
 Hệ số công suất cảm sinh 
int Hệ số đan xen công suất cảm sinh 
 Tỉ số vận tốc dòng vào 
  Tỉ số vận tốc dòng tự do 
u Tỉ số vận tốc đầu vào của rotor trên 
l Tỉ số vận tốc đầu vào của rotor dưới 
 Khối lượng riêng của không khí 
 Độ che phủ của rotor 
 Vận tốc góc của rotor 
1 GIỚI THIỆU 
otor đôi đã xuất hiện trong đầu thế kỷ XIX. 
Mẫu thiết kế rotor đôi sớm nhất xuất phát từ ý 
tưởng của Bright ở năm 1861 và mô hình của 
d’Amècourt năm 1862 và các mẫu thực nghiệm 
được Igor Sikorsky chế tạo năm 1910. Mẫu trực 
thăng sử dụng rotor đôi chở người đầu tiên được 
phát triển bởi Emile Berliner, Corradino 
d’Ascanio, và Louis Breguet năm 1930. 
Rotor đôi được đề cập trong nghiên cứu này là 
loại rotor có hai tầng cánh quay ngược chiều nhau. 
Do chúng được đặt đồng trục nên hoạt động của 
hai rotor sẽ gây ảnh hưởng qua lại lẫn nhau. Vì lý 
do đó nên đặc tính khí động lực học qua rotor đôi 
rất phức tạp. Tuy nhiên rotor đôi có những ưu 
điểm vượt trội so với rotor đơn như: ổn định hơn, 
linh động hơn, nếu cùng nâng tải trọng như nhau 
thì kích thước rotor đôi sẽ nhỏ hơn và máy bay 
trực thăng sử dụng hệ thống rotor đôi không cần 
rotor đuôi. 
2 LÝ THUYẾT ĐỘNG LƯỢNG CHO 
ROTOR ĐÔI 
Đầu tiên, lý thuyết động lượng cho rotor đôi sẽ 
được trình bày tóm lượt, vì đây là lý thuyết nền 
tảng cho việc phân tích rotor. Lý thuyết động 
lượng được xây dựng dựa trên các định luật bảo 
toàn về khối lượng, động lượng và năng lượng của 
dòng khí qua một thể tích kiểm soát gắn với rotor. 
Để đơn giản hóa thì lý thuyết này tính toán trong 
giả thuyết dòng khí không nhớt, không nén được, 
và hiệu suất rotor được thể hiện thông qua hệ số 
chất lượng của rotor, FM. 
Áp dụng lý thuyết động lượng cho rotor đôi theo 
bốn trường hợp: Trường hợp 1: hai rotor quay trên 
cùng một mặt phẳng và cho ra lực đẩy như nhau; 
Trường hợp 2: hai rotor quay trên cùng một mặt 
phẳng và cân bằng moment với nhau; Trường hợp 
3: hai rotor tạo ra lực đẩy như nhau, và rotor dưới 
đặt ở vùng dòng sau co thắt cực đại của rotor trên; 
Trường hợp 4: hai rotor cân bằng moment với 
nhau, và rotor dưới đặt ở vùng dòng sau của rotor 
trên co thắt cực đại. 
So với trường hợp hai rotor hoạt động riêng lẻ 
thì trường hợp hai rotor quay đồng trục thì công 
suất cảm sinh lớn hơn do các rotor trong rotor đôi 
khi hoạt động sẽ ảnh hưởng qua lại lẫn nhau ...  y   (14) 
 bdP N dL.sin dD.cos y    (15) 
2 2
b
T
N dLcos dDsindT
dC
A R A R
 
  
 (16) 
Trong đó: 
21
2
l
dL U cC dy (17) 
21
2
D
dD U cC dy (18) 
arctan
r
 
 
 (19) 
Hình 2. Các thành phần lực trên một biên dạng cánh [3] 
Và 
2 2
2
2 2
2 2
i
y v vU
r
R R
 
 
 
 (20) 
Khi đó 
 2 21
2
b
T l d
N c
dC r C cos C sin dr
R
   
(21) 
Tương tự, vi phân hệ số công suất có công thức: 
2 2
2 2
2 2
1
2
1
2
1
2
b
p l d
b
l
b
d Pi Po
N c
dC r C sin C cos rdr
R
N c
r C sin rdr
R
N c
r C cos rdr dC dC
R
   
  
   
(22) 
Như vậy hệ số lực đẩy và hệ số công suất sẽ 
được tính theo tích phân của các công thức (21) và 
(22). 
3.2 Rotor phía dưới 
Như đã giới thiệu, diện tích rotor phía dưới 
được chia làm hai vùng: vùng chịu ảnh hưởng bởi 
dòng sau của rotor phía trên và vùng không chịu 
ảnh hưởng bởi dòng sau của rotor phía trên. Trong 
điều kiện lý tưởng, nếu rotor dưới nằm ở vị trí 
dòng sau của rotor phía trên co thắt cực đại, khi 
đó, bán kính vùng chịu ảnh hưởng là 
1
0 707
2
c
r . tương đương với 2
c
A / A , và 
vận tốc dòng tự do vào rotor này là 2
u
V v
 . Khi 
đó, tỉ số dòng vào của vùng chịu ảnh hưởng này có 
công thức sau: 
2
16 2 8
16 2
l lc u
l
l c u
C CA / A
r, r
F F
C A / A
F
   
   
   
(23) 
Trong đó: 
l
 là góc đặt cánh của rotor dưới tại 
vị trí đang xét. 
Trong các thí nghiệm thực tế cho thấy rc 0.82 
[2] 
 Đối với vùng rotor phía dưới không chịu tác 
động bởi dòng sau của rotor phía trên thì công thức 
tỉ số dòng vào tương tự như công thức tỉ số dòng 
vào của rotor phía trên. 
2
l l l
l
C C C
r, r
16F 2 8F 16F 2
    
   
(24) 
Như vậy, khi có thông tin về góc đặt cánh, xoắn 
cánh, dây cung cánh và biên dạng cánh thì tỉ số 
dòng vào sẽ tính được bằng các công thức (12), 
(23), (24) và hệ số lực đẩy và hệ số công suất sẽ 
tính được nhờ tích phân các công thức (21) và 
(22). 
4 HIỆU CHỈNH HÀM HAO HỤT CỦA 
PRANDTL CHO RANH GIỚI CỦA HAI 
VÙNG TRÊN ROTOR PHÍA DƯỚI 
Đối với rotor phía dưới, theo lý thuyết, do tác 
động của dòng sau của rotor phía trên nên vùng 
chịu ảnh hưởng của rotor trên sẽ có tỉ số dòng vào 
22 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL - 
 ENGINEERING & TECHNOLOGY, VOL 1, ISSUE 3, 2018 
cao hơn vùng không chịu cảnh hưởng, như vậy tại 
ranh giới giữa hai vùng này sẽ có một sự gián đoạn 
về tỉ số dòng vào cũng như gián đoạn về áp suất. 
Điều này không đúng với thực tế vì tính nhớt của 
không khí dẫn tới tính liên tục về phân bố áp suất 
và tính liên tục của phân bố tỉ số dòng vào. 
Mục này trình bày một phương pháp loại bỏ 
bước nhảy của tỉ số dòng vào tại ranh giới của hai 
vùng bằng cách hiệu chỉnh lại hàm hao hụt của 
Prandtl để áp dụng cho vùng này. Hàm này được 
xây dựng như sau: 
Xét tại vị trí ranh giới giữa hai vùng, gọi 
c
  là 
bước nhảy của tỉ số dòng vào khi qua vị trí ranh 
giới này, khi đó: 
c c
c r r r r 
    (25) 
Hàm Prandtl được hiệu chỉnh lại như sau: 
12 1
2
cb
mod
in
r rN
F cos exp 
 
(26) 
Khi đó biểu thức của tỉ số dòng vào được hiệu 
chỉnh lại như sau: 
Đối với vùng bị ảnh hưởng bởi rotor phía trên: 
2
16 2 8
1
16 2 2
l lc u
l
l c u
c mid mod
C CA / A
r, r
F F
C A / A
F
F
   
   
   
 
(27) 
Đối với vùng không chịu ảnh hưởng bởi rotor 
phía trên: 
2
l l
l
l
c mid mod
C C
r, r
16F 2 8F
C 1
F
16F 2 2
  
   
 
  
 (28) 
5 HIỆU SUẤT 
Hiệu suất là tỉ số giữa công suất lý tưởng cho 
rotor tạo lực đẩy và tổng công suất thực tế cần 
cung cấp cho rotor. Công suất thực tế của rotor bao 
gồm: Công suất cảm sinh và Công suất hình dạng: 

C«ng suÊt lý t­ëng
C«ng suÊt c¶m sinh + C«ng suÊt h×nh d¹ng
Pideal
Pi Po
FM
C
C C
(29) 
Trong đó  là hệ số điều chỉnh công suất giữa 
tính toán và thực tế. Hệ số  bao gồm các hiệu 
chỉnh do bỏ qua các hiện tượng vật lý như: dòng 
không đồng nhất trên các vành khăn, các cuộn 
xoắn trong dòng xả, sự xoắn ốc của dòng xả, sự co 
lại của dòng sau trên thực tế ít hơn trên lý thuyết 
Thông thường, đối với đơn rotor, 1 15 . [3]. 
Đối với các rotor trong hệ thống rotor đôi, hiệu 
suất được tính như sau: 
Rotor phía trên: 
 
PUideal
u
PiU PoU
C
FM
C C
 (30) 
Rotor phía dưới: 
 
PLideal
l
PiL PoL
C
FM
C C
 (31) 
Hệ rotor đôi: 
 
PUideal PLideal
PiU PiL PoU PoL
C C
FM
C C C C
 (32) 
Với: 
3 2
2
 u
/
T
PUideal
C
C ,
3 2
2
 l
/
T
PLideal
C
C 
6 KIỂM NGHIỆM LÝ THUYẾT BEMT HIỆU 
CHỈNH 
Để kiểm định các lý thuyết phần tử cánh với 
phần hiệu chỉnh ở ranh giới hai vùng trên rotor 
phía dưới, bài báo này so sánh kết quả tính toán 
đạt được với kết quả thực nghiệm tham khảo từ thí 
nghiệm rotor đôi trong hầm gió của Harrington. 
Hình 3. Kiểm nghiệm lý thuyết BEMT hiệu chỉnh với thực 
nghiệm [2] thông qua quan hệ giữa hệ số công suất và hệ số 
lực đẩy của Harrington Rotor 2. 
Hệ số công suất trong hình 3 được tính theo 
công thức: 
P Pi Po
C C C  
Hình 3 cho thấy: với 1 thì khi hệ số lực đẩy 
càng tăng thì sai lệch giữa đường tính toán so với 
đường thực nghiệm càng lớn vì khi đó ảnh hưởng 
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - 23 
KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ, TẬP 1, SỐ 3, 2018 
của các hiện tượng vật lý đã bị bỏ qua thể hiện 
càng rõ rệt, khi 1 15. thì đường lý thuyết về sát 
với đường thực nghiệm. Do đó với các tính toán 
phía sau, bài báo này sẽ dùng giá trị 1 15. . 
Hình 4. Kiểm định lý thuyết BEMT đã hiệu chỉnh với thực 
nghiệm [2] thông qua quan hệ giữa hệ số lực đẩy và hiệu suất 
của rotor đôi trên rotor 2 của Harrington. 
Hình 5. Kiểm định lý thuyết BEMT đã hiệu chỉnh với thực 
nghiệm [2] thông qua quan hệ giữa hệ số lực đẩy và hiệu suất 
của rotor đôi trên rotor 1 của Harrington. 
Ngoài ra, việc kiểm định lý thuyết BEMT đã 
chỉnh sửa còn có thể thực hiện thông qua xem xét 
mối quan hệ giữa hệ số lực đẩy và hiệu suất như 
hình 4 và hình 5. 
Hình số 6 thể hiện phân bố tỉ số dòng vào của 
rotor phía dưới thu được từ phương pháp BEMT 
đã hiệu chỉnh lại hệ số tổn thất Prandtl cho vị trí 
ranh giới giữa vùng chịu ảnh hưởng của rotor trên 
và vùng không chịu ảnh hưởng. Kết quả thu được 
cho thấy bước nhảy tại vị trí ranh giới giữa hai 
vùng của phương pháp BEMT đã không còn sau 
khi hiệu chỉnh. Hơn nữa phương pháp BEMT đã 
hiệu chỉnh cho kết quả gần giống với phương pháp 
FVM (Free-Vortex Method) ở vùng 0 82 r . . 
Hình 6. So sánh phân bố tỉ số dòng vào trên rotor phía dưới 
giữa các lý thuyết. 
Tóm lại, qua các kiểm nghiệm cho thấy, với 
việc sử dụng hệ số hiệu chỉnh công suất 
1 15. [2], phương pháp BEMT đã hiệu chỉnh 
cho kết quả rất sát với các kết quả thu được từ các 
thực nghiệm. Kết quả phân bố tỉ số dòng vào của 
phương pháp BEMT đã hiệu chỉnh phù hợp với 
thực tế hơn. 
7 TỐI ƯU HÓA XOẮN CÁNH CỦA ROTOR 
Áp dụng lý thuyết BEMT với phần hiệu chỉnh 
hàm mất mát của Prandtl cho vùng ranh giới giữa 
vùng trong và vùng ngoài trên rotor phía dưới. 
Mục tiêu của việc tối ưu xoắn cánh của rotor đôi 
là để đạt được giá trị hiệu suất cao nhất, đồng thời 
cũng phải đảm bảo momen xoắn giữa hai tầng 
rotor cân bằng nhau. Do có sự tác động qua lại của 
hai tầng rotor lên nhau nên xoắn tối ưu của các 
rotor trong hệ rotor đôi sẽ khác với các rotor đơn 
thông thường. Nhiệm vụ của việc tối ưu xoắn cánh 
là để đạt được phân bố góc tấn tối ưu từ đó đạt 
được hiệu suất tối ưu. 
Việc tối ưu xoắn cánh được thực hiện cho rotor 
2 của Harrington, có bán kính 3.81m, được thử 
nghiệm ở vận tốc xoay 250 rpm, số Mach tại vị trí 
0.75R là 0.3, số Reynold là 2.5E06. Đặc điểm của 
cánh này là từ vị trí cut-off ra đỉnh cánh, cánh này 
có độ dài dây cung cánh không đổi nhưng độ dày 
của cánh giảm dần. Như vậy, biên dạng cánh sẽ 
thay đổi dọc theo chiều dài cánh. Nhưng để đơn 
giản, bài báo này giả sử biên dạng cánh là như 
nhau tại mọi vị trí dọc theo cánh. Biên dạng cánh 
thường được sử dụng cho các rotor máy bay trực 
thăng là NACA0012, đặc tính của biên dạng cánh 
này được tham khảo từ tài liệu tham khảo [5] và 
thể hiện ở hình 7 và 8. 
24 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT JOURNAL - 
 ENGINEERING & TECHNOLOGY, VOL 1, ISSUE 3, 2018 
Hình 7. Hệ số lực nâng theo góc tấn của biên dạng cánh 
NACA0012 [5] 
Hình 8. Hệ số lực cản và hệ số lực nâng của biên dạng cánh 
NACA0012 [5] 
Giải thuật tối ưu được trình bày như sơ đồ thể 
hiện trong hình 9. 
Hình 9. Giải thuật tối ưu 
Đối với Rotor 2 của Harrington, quan sát đồ thị 
hình 4 có thể thấy rõ khi hệ số lực đẩy tăng thì 
hiệu suất của rotor tăng theo. Hệ số lực đẩy tăng là 
do góc tấn của biên dạng cánh dọc theo rotor tăng. 
Bởi vì ở những vị trí góc tấn nhỏ thì tỉ số lực nâng 
trên lực cản của biên dạng cánh nhỏ, nên hiệu suất 
của rotor tại vị trí mặt cắt đó cũng nhỏ theo. Góc 
tấn tăng thì hiệu suất tăng, tuy nhiên đến một giá 
trị tới hạn thì góc tấn tăng, tỉ số lực nâng trên lực 
cản giảm rất nhanh dẫn tới hiệu suất cũng giảm 
nhanh. Nguy hiểm hơn nữa là ở những góc tấn cao, 
cánh dễ gặp phải hiện tượng mất lực nâng (stall). 
Bài báo này sẽ tìm ra giá trị xoắn cánh tối ưu để 
đạt được hiệu suất tốt nhất khi hệ số lực đẩy toàn 
rotor đôi, 0 016
T
C . . Đối với rotor 2 của 
Harrington, khi cánh không xoắn, kết quả của giải 
thuật tối ưu cho được giá trị hiệu suất tối ưu là FM 
= 0.74 khi  o
u
14.2 ,  o
l
15 . Phân bố góc tấn 
tối ưu được thể hiện hình 10. 
Khi tối ưu xoắn tuyến tính cho rotor 2 của 
Harrington, kết quả cho thấy FM = 0.76 khi: 
  
o
u root
5 ,
  
o
u tip
16.8 ,  
o
l root
20 ,
  
o
l tip
13 . 
Phân bố góc tấn tối ưu được thể hiện hình 11. 
Hình 10. Phân bố góc đặt cánh và góc tấn của rotor 2 của 
Harrington khi cho hiệu suất tốt nhất trong trường hợp không 
xoắn. 
Như vậy, trong trường hợp giữ nguyên giá trị 
dây cung cánh (cánh không có côn) thì việc tối ưu 
góc xoắn cánh đã làm tăng hiệu suất thêm 2% so 
với khi rotor không có xoắn cánh. Đối với rotor 
trên, góc đặt cánh giảm dần từ mũi cánh vào trong 
gốc cánh, điều này giúp giảm ảnh hưởng của nó 
lên rotor phía dưới, điều này góp phần làm tăng 
hiệu suất của rotor phía dưới. 
Muốn cải thiện hiệu suất hơn nữa thì phải xem 
xét tới việc tối ưu đồng thời xoắn cánh và côn 
cánh. 
Hình 11. Phân bố góc đặt cánh và góc tấn của rotor 2 của 
Harrington khi cho hiệu suất tốt nhất trong trường hợp xoắn 
tuyến tính 
8 KẾT LUẬN 
Lý thuyết kết hợp lý thuyết động lượng và lý 
thuyết phần tử cánh sau khi hiệu chỉnh đã cho hàm 
phân bố tỉ số dòng vào giống với thực tế hơn. 
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - 25 
KỸ THUẬT & CÔNG NGHỆ, TẬP 1, SỐ 3, 2018 
Đối với rotor phía dưới của rotor đôi, việc hiệu 
chỉnh hàm mất mát tại mũi cánh của Prandtl cho vị 
trí ranh giới giữa vùng chịu cảnh hưởng và không 
chịu ảnh hưởng bởi rotor trên đã xóa bỏ thành 
công sự không liên tục của dòng vào tại vị trí này. 
Lý thuyết BEMT đã hiệu chỉnh cho kết quả rất 
sát với các kết quả thực nghiệm. Do đó lý thuyết 
này có độ chính xác tương đối cao và có thể dùng 
nó để tính toán thiết kế tối ưu cho rotor. 
Khi muốn tối ưu hiệu suất của rotor đôi phải tối 
ưu đồng thời xoắn cánh và côn cánh. Khi tối ưu 
xoắn cánh bằng các hàm tuyến tính, kết quả hiệu 
suất tối ưu thu được là FM = 0.76. Khi muốn tối 
ưu hiệu suất của rotor đôi cao hơn nữa thì phải tối 
ưu đồng thời xoắn cánh và côn cánh, bên cạnh đó 
cần xem xét các tối ưu theo các hàm bậc cao hơn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Boulet J., The History of the Helicopter as Told by its 
Pioneers 1907–1956, Editions France-Empire, Paris, 
1984. 
[2] Leishman J. D., Ananthan S., An optimum coaxial 
rotor system for axial flight, Journal of American 
Helicopter, Vol. 53, Iss. 4, Pp. 366-381, 2008. 
[3] Leishman J. D., Principles of Helicopter 
Aerodynamics, University of Maryland, 2006. 
[4] Harrington R. D., Full-Scale Tunnel Investigation of 
the Static Thrust Performance of a Coaxial Helicopter 
Rotor, NACA Technical Note 2318, 1951. 
[5] Ira A.H. and Albert E.V.D., Theory Of Wing Sections, 
Dover Publications, Inc, 1949. 
Đặng Trung Duẫn thuộc Khoa Kỹ Thuật Giao 
Thông, Trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG-HCM 
Vũ Ngọc Ánh tốt nghiệp tiến sĩ năm 2011 tại Đại 
học Konkuk, Hàn Quốc. Hiện đang công tác tại 
Khoa Kỹ Thuật Giao Thông, Trường Đại Học 
Bách Khoa, ĐHQG-HCM. 
A study on coaxial rotor aerodynamics 
Dang Trung Duan, Vu Ngoc Anh* 
 Ho Chi Minh City University of Technology, VNU-HCM 
*Corresponding email: vungocanh@hcmut.edu.vn 
Received: 07-3-2017; Accepted: 20-8-2017; published: 30-12-2018 
Abstract—The blade element momentum theory 
and fundamental aerodynamic performance of 
coaxial rotor are discussed. The simple momentum 
theory and blade element theory were used to 
calculate some aerodynamic parameters such as 
thrust, torque and power of coaxial rotor. The blade 
element momentum theory (BEMT) is used to 
determine the distribution of local airflow into the 
upper and lower rotors at the torque balanced 
condition. The upper rotor inflow ratio is similar to 
that of single rotor, whereas the lower rotor inflow 
ration is splitted into 2 areas: inner and outer area 
affected by sliptream from upper rotor. All 
derivations are assumed that the inner part of the 
lower rotor operates in the vena contracta of the 
upper rotor with fully developed slipstream velocity 
there. Prandtl tip loss is also derived for area of 
interchange of lower rotor. The thrust and power 
coefficients, inflow ratio, figure of merit of coaxial 
rotor calculated by theory well agree with 
experimental data. The results from the BEMT were 
validated using a free-vortex wake calculation. 
Finally, a linear blade twist is considered for 
maximizing the figure of merit of the rotor. Results 
that were obtained for an optimum coaxial rotor 
were discussed. 
Index Terms—Coaxial rotor, BEMT, optimization, modified theory, efficiency