Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng - Trường Đại học Kinh tế quốc dân

Chương 3. MỘT SỐ QUY LUẬT 
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
▪ Giới thiệu một số quy luật phân phối xác suất thông
dụng nhất trong kinh tế, gồm hai nhóm:
▪ Các quy luật rời rạc: Không-một, Nhị thức, Poisson
▪ Các quy luật liên tục: Đều, Chuẩn, Khi-bình phương, 
Student, Fisher
▪ Các ứng dụng của các quy luật trong kinh tế
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 79
Chương 3. 
NỘI DUNG CHƯƠNG 3
▪ 3.1. Quy luật Không-một – A(p)
▪ 3.2. Quy luật Nhị thức – B(n, p)
▪ 3.3. Quy luật Poisson – P()
▪ 3.4. Quy luật Đều – U(a, b)
▪ 3.5. Quy luật Chuẩn – N(, σ2)
▪ 3.6. Quy luật Khi bình phương – 2(n)
▪ 3.7. Quy luật Student – T(n)
▪ 3.8. Quy luật Fisher Snedecor – F(n1, n2)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 80
Chương 3. Một số quy luật thông dụng
3.1. QUY LUẬT KHÔNG-MỘT – A(p)
▪ Còn gọi là quy luật Bernoulli
▪ X rời rạc chỉ nhận hai giá trị 0, 1
▪ P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 – p
▪ Hay: 
▪ X gọi là phân phối theo quy luật Không-một với
tham số p
▪ Ký hiệu X ~ A(p)
▪ Tham số đặc trưng
E(X) = p ; V(X) = p(1 – p) ; 𝜎𝑋 = 𝑝(1 − 𝑝)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 81
 1( ) (1 ) ; 0,1x xP X x p p x
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1 
Ví dụ 3.1
▪ Có 4 người bắn vào bia độc lập nhau, mỗi người bắn
1 viên đạn. Xác suất trúng của mỗi người lần lượt là
0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9.
▪ (a) Số viên đạn trúng bia của mỗi người có quy luật
phân phối thế nào?
▪ (b) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số viên đạn
trúng bia
▪ (c) Nếu có n người và xác suất trúng của mỗi người
đều là 0,6 thì câu (b) có kết quả thế nào?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 82
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1. Quy luật Không-một
3.2. QUY LUẬT NHỊ THỨC – B(n, p)
▪ Biến ngẫu nhiên X rời rạc có giá trị có giá trị có thể
có là X = {0, 1, 2,, n}
▪ Công thức tính xác suất
▪ X gọi là phân phối theo quy luật Nhị thức
(Binomial) với hai tham số n và p
▪ Ký hiệu X ~ B(n, p)
▪ Có thể tra giá trị xác suất qua Phụ lục 1 (trang 939)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 83
 ( ) (1 ) ; 0,1,2,...,x x n x
n
P X x C p p x n
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. 
Tham số đặc trưng của quy luật B(n, p)
▪ Nếu X ~ B(n, p) thì X = X1 + X2 +  + Xn với mỗi Xi
đều phân phối Không-một: Xi ~ A(p)
▪ Kỳ vọng: E(X) = np
▪ Phương sai: V(X) = np(1 – p)
▪ Độ lệch chuẩn: 𝝈𝑿 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
▪ Mốt m0 thỏa mãn: (n + 1)p – 1 m0 (n + 1)p
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 84
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức
Quy luật phân phối của tần suất
▪ X ~ B(n, p) thì tần suất là f : 
▪ Tần suất f phân phối theo quy luật Nhị thức tỷ lệ
▪ Tham số đặc trưng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 85
X
f
n
σ
(1 ) (1 )
( ) ; ( ) ;
f
p p p p
E f p V f
n n
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức
Ví dụ 3.2
▪ Một đề thi trắc nghiệm gồm 60 câu hỏi, mỗi câu có 4 
lựa chọn, chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một thí sinh làm
tất cả bằng cách chọn ngẫu nhiên, độc lập. 
▪ (a) Quy luật phân phối xác suất của số câu đúng như
thế nào?
▪ (b) Tính kỳ vọng, phương sai của số câu đúng
▪ (c) Số câu đúng có khả năng xảy ra nhiều nhất?
▪ (d) Tỷ lệ đúng phân phối thế nào, kỳ vọng và
phương sai bằng bao nhiêu?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 86
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức
3.3. QUY LUẬT POISSON – P() 
▪ BNN rời rạc X có giá trị có thể có: 0, 1, 2, và xác
suất được tính bởi công thức:
▪ X gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham
số , ký hiệu X ~ P()
▪ Tham số đặc trưng: E(X) = ; V(X) = ;  – 1 m0 
▪ X ~ B(n, p) với n lớn, p nhỏ thì X xấp xỉ ~ P( = np)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 87
, , ,...
( ) ;
!
λλ
λ
0 1 2
0
x xe
P X x
x
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.3. 
3.4. QUY LUẬT ĐỀU – U(a, b)
▪ BNN X liên tục nhận giá trị trong khoảng (a, b)
▪ X gọi là phân phối theo quy luật Đều (Uniform) với
hai tham số a và b, ký hiệu: X ~ U(a, b)
▪ Tham số đặc trưng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 88
2( )
( ) ; ( )
2 12
a b b a
E X V X
1
: ( , )
( )
0 : ( , )
x a b
f x b a
x a b
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.4. 
3.5. QUY LUẬT CHUẨN – N(, σ2)
▪ BNN liên tục X nhận giá trị trong khoảng (- , + ) có
hàm mật độ:
▪ gọi là phân phối theo quy luật Chuẩn (Normal) với
hai tham số  và σ2
▪ Ký hiệu: X ~ N(, σ2)
▪ Hàm phân phối xác suất: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 89
( )
( )
μ
σ
σ π
2
22
1
2
x
f x e
 ( ) ( )
x
F x f x dx
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. 
Tính chất f(x) và F(x)
▪ Hàm mật độ f(x)
• Hình quả chuông, đối xứng trục qua x = 
• Đỉnh cao 1/(𝜎 2𝜋) tại x = 
• Tiệm cận ngang với trục hoành
• Điểm uốn tại x =  σ
▪ Hàm phân phối F(x)
• Tiệm cận trái Ox, tiệm cận phải đường y = 1
• Đối xứng tâm tại ( , ½)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 90
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Tham số đặc trưng
▪ X ~ N(, σ2) thì:
▪ Kỳ vọng: E(X) = 
▪ Phương sai: V(X) = σ2
▪ Độ lệch chuẩn: σX = σ
▪  tăng thì f(x), F(x)
dịch sang phải
▪ σ tăng thì f(x) thấp
xuống và rộng ra
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 91
f(x)
F(x)
μ μ’
1
½ 
1
σ 2π
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1)
▪ X ~ N(, σ2), đặt
▪ BNN U có hàm mật độ:
▪ Hàm phân phối xác suất:
▪ Khi đó U là biến ngẫu nhiên Chuẩn hóa, U ~ N(0,1)
▪ Và X =  + σ.U
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www