Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên & quy luật phân phối xác suất - Trường Đại học Kinh tế quốc dân

Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN &
QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
▪ Biến ngẫu nhiên là khái niệm trung tâm của lý
thuyết xác suất
▪ Hiểu được khái niệm và cách phản ánh quy luật của
biến ngẫu nhiên, thông qua quy luật phân phối xác
suất
▪ Khái niệm về các tham số đặc trưng cho đại lượng
ngẫu nhiên trong kinh tế - kinh doanh
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 51
NỘI DUNG CHƯƠNG 2
▪ 2.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên
▪ 2.2. Quy luật phân phối xác suất
• Bảng phân phối xác suất
• Hàm phân phối xác suất
• Hàm mật độ xác suất
▪ 2.3. Tham số đặc trưng
• Kỳ vọng
• Phương sai, độ lệch chuẩn
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 52
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật
2.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN
▪ Định nghĩa 2.1. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên
(random variable) nếu trong kết quả của phép thử
nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có
của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố
ngẫu nhiên.
▪ Viết tắt là BNN
▪ Ký hiệu: X, Y, Z hoặc X1, X2,
▪ Giá trị có thể có của X là x1, x2,.
▪ (X = x1), (X = x2) là các biến cố
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 53
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.1.
Phân loại biến ngẫu nhiên
▪ Biến ngẫu nhiên là rời rạc (discrete) nếu các giá trị
có thể có của nó lập thành một tập hợp hữu hạn
hoặc đếm được
• Ví dụ: Điểm số, Số người vào cửa hàng
• X = {x1, x2,, xn}; n có thể = 
▪ Biến ngẫu nhiên là liên tục (continuous) nếu các giá
trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số
• Ví dụ: Thời gian, Khoảng cách, Năng suất
• X = (a, b)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 54
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên
2.2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
▪ Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là
sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các
xác suất tương ứng với các giá trị đó
▪ Ba cách thể hiện thông thường:
• Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc)
• Hàm phân phối xác suất (hàm tích lũy xác suất)
• Hàm mật độ xác suất (chỉ cho BNN liên tục)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 55
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. 
Bảng phân phối xác suất
▪ Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability)
▪ X rời rạc, X = {x1, x2,, xn} ; n có thể bằng 
▪ Xác suất: pi = P(X = xi), i = 1  n
▪ Tính chất: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 56
X x1 x2  xn
P p1 p2  pn
 
1
0 1 & 1
n
i i
i
p p
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Hàm phân bố xác suất F(x)
▪ Còn gọi là hàm tích lũy xác suất (cumulative 
probability function)
▪ Định nghĩa 2.2. Hàm phân bố xác suất của X, ký
hiệu là F(x), x ℝ, được tính bởi công thức:
F(x) = P(X < x)
▪ Nếu X rời rạc: F(x) =
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 57

i
i
x x
p
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Ví dụ 2.1
▪ BNN X rời rạc có:
▪ Hàm F(x) sẽ là:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 58
X 1 2 3
P 0,3 0,5 0,2
0 1
0 3 1 2
0 8 2 3
1 3
:
, :
( )
, :
:
x
x
F x
x
x x
x
1 2 3
0,8
0,3
1
0,3
0,5
0,2
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Tính chất của F(x)
▪ F(x) thuộc đoạn [0, 1]
▪ F(x) là hàm không giảm: x1 < x2 thì F(x1) F(x2)
• Hệ quả: P(a X < b) = F(b) – F(a)
• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = 0
• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a X b) = P(a X < b)
= P(a < X b) = P(a < X < b)
▪ F(– ) = 0 và F(+ ) = 1
• Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì F(x)
= 0 với x a và F(x) = 1 với x > b
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 59
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Hàm mật độ xác suất f(x)
▪ Biến ngẫu nhiên X liên tục
thì hàm F(x) liên tục
▪ Định nghĩa 2.3. Hàm mật
độ xác suất (probability 
density function: PDF) của
BNN liên tục X, ký hiệu là
f(x), x ℝ, là đạo hàm của
hàm F(x):
f(x) = F (x)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 60
x
x
F(x)
f(x)
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Tính chất của f(x)
▪ Tính chất 1: f(x) 0  x
▪ Tính chất 2:
▪ Tính chất 3: 
▪ Tính chất 4: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 61
 ( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
 ( ) 1f x dx
 ( ) ( )
x
F x f x dx
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Ví dụ 2.2
▪ Thời gian chờ của khách hàng (giờ) ở một cửa hàng
có hàm mật độ:
▪ (a) Tính xác suất một khách chờ hơn nửa giờ
▪ (b) Tính xác suất một khách chờ từ 20 đến 40 phút
▪ (c) Tìm mức thời gian mà 20% số khách chờ lâu
hơn mức đó
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 62
: [ , ]
( )
: [ , ]
0 0 1
2 0 1
x
f x
x x
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Ví dụ 2.2
▪ Minh họa ví dụ
▪ Hàm F(x) có dạng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 63
x
x
f(x)
:
( ) :
:
x
F x x x
x
2
0 0
0 1
1 1
1/3 2/3 1
F(x)
4/9
1/9
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
2.3. CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
▪ Các tham số đặc trưng xu thế trung tâm: Kỳ vọng
toán, trung vị, mốt
▪ Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ
lệch chuẩn, hệ số biến thiên
▪ Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số
nhọn, hệ số bất đối xứng
▪ Tại đây tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch
chuẩn, Giá trị tới hạn
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 64
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. 
Kỳ vọng toán
▪ Định nghĩa 2.4. Kỳ vọng toán (expected