Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 5: Lý thuyết lượng tử của nguyên tử Hydro - Lê Công Hảo

Chương 5
Lý thuyết lượng tử của nguyên tử Hydro
PGS.TS. Lê Công Hảo
BT: 5.2, 5.3, 5.5, 5.6, 5.7, 5.11, 5.12, 5.13, 5.16, 5.17, 5.20,
5.21, 5.30, 5.31, 5.40
5.1 Phương trình Schrӧdinger 
𝜕2𝜓
𝑑𝑥2
+
𝜕2𝜓
𝑑𝑦2
+
𝜕2𝜓
𝑑𝑧2
+
2𝑚
ℏ2
𝐸 − 𝑈 𝜓 = 0
Phương trình Schrödinger đối với electron
năng lượng E chuyển động trong nguyên tử
hydro theo không gian 3 chiều là
Thế tương tác Coulomb
r
e
U
0
2
4 
−=
222 zyxr ++=
U tọa độ Decartes (x, y, z) 
Tọa độ cầu (r, , ) 
5.1 Phương trình Schrӧdinger 
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2m
r sin E U(r) 0
r r r r sin r sin

    
  

     
+ + + − = 
     
 được gọi là hàm sóng )()()(),,(  = rRr
= 
−





+ 




+ 




− ERR
r
e
r
r
rrme
1
4sin
1
sin
sin
1
2 0
2
2
2
2
2
2
2
 



Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro
trong tọa độ cầu
= ..RViết gọn
5.2. Giải Phương trình Schrӧdinger bằng
Phương pháp tách biến )()()r(R),,r( =
5.2.3. Phổ năng lượng
5.2.1. và 5.2.2. Sinh viên đọc thêm trong giáo trình
Trị riêng của năng lượng E kết hợp với hàm sóng
mn

222
0
42
e
n
n2)4(
eZm
E
 
−=
Nguyên tử hydro Z = 1 ,....)3,2,1(
.1
32 2
1
2222
0
2
4
=
=−= 
−=
n
n
E
n
hR
n
em
E en  
R= 3,27.1015 s-1 cũng được gọi là hằng số Rydberg
n được gọi là số lượng tử chính
55.3 Hàm sóng toàn phần
),()()()()(  


 
m
nm
m
nmn YrRrR ==
Số lượng tử chính n = 1, 2, 3, , , 
Số lượng tử quỹ đạo ℓ = 0, 1, 2, , (n - 1), 
Số lượng tử từ: 𝑚ℓ = 0, 1, 2, , ±ℓ, 
 Các mức năng lượng của nguyên tử hydro 
chỉ phụ thuộc vào số lượng tử chính 𝑛
𝐸𝑛 = −
ℏ2
2𝑚𝑎0
2
1
𝑛2
với 𝑎0 =
4𝜋𝜀0ℏ
2
𝑚𝑒2
là bán kính Bohr.
rn = n
2.a0
 Năng lượng trạng thái cơ bản:
𝐸1 = −
ℏ2
2𝑚𝑎0
2 = −13,6 eV 
6
5.4 Các mức năng lượng
5.4 Các mức năng lượng
Năng lượng En luôn âm,
khi n →∞ thì En → 0.
5.4.1. Mức năng lượng
của electron trong
nguyên tử hydro
5.4.2. Năng lượng ion hóa của nguyên tử hydro
Năng lượng cần cung cấp để electron chuyển từ mức năng
lượng E1 sang mức năng lượng E 
 Electron dịch chuyển n → m 
(n> m) phát ra photon có năng lượng:
𝐸𝑛𝑚 = ℎ𝜈𝑛𝑚 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚
 Tần số vạch quang phổ:
𝜈𝑛𝑚 = 𝑅
1
𝑚2
−
1
𝑛2
, 𝑚 < 𝑛
8
𝐸𝑛
𝐸𝑚
𝐸𝑛𝑚
5.4.3. Giải thích cấu tạo vạch của nguyên tử hydro
𝑅 =
𝑘𝑒2
2𝑎0
1
ℎ
= 3,27 × 1015s−1: hằng số Rydberg
 Dãy Lyman: n → 1 (n > 1)
 Dãy Balmer: n → 2 (n > 2)
 Dãy Paschen: n → 3 (n > 3)
9
5.4.3. Giải thích cấu tạo vạch của nguyên tử hydro
Ánh sáng nhìn thấy
 Hàm sóng phụ thuộc vào ba số lượng tử 𝑛, ℓ,𝑚ℓ
𝜓𝑛ℓ𝑚ℓ 𝑟, 𝜃, 𝜙 = −
2
𝑛2
𝑛 − ℓ − 1 !
𝑛 + ℓ ! 𝑎0
3
2𝑟
𝑛𝑎0
ℓ
𝐿𝑛+ℓ
2ℓ+1
2𝑟
𝑛𝑎0
𝑒
−
𝑟
𝑛𝑎0 𝑌ℓ
𝑚ℓ(𝜃, 𝜙)
Ứng với mỗi giá trị của n, thì sẽ có n giá trị khác nhau của ℓ ( = 0, 1, 
2,n-1) và ứng với mỗi giá trị của ℓ sẽ có 2ℓ+1 giá trị khác nhau của 𝑚ℓ
 Số trạng thái có cùng số lượng tử chính:
෍
ℓ=0
𝑛−1
(2ℓ + 1) = 𝑛2
10
5.4.4. Trạng thái lượng tử của electron
11
𝒏 ℓ 𝒎ℓ Số trạng thái Hàm sóng 𝜓𝑛ℓ𝑚ℓ Trạng thái
1 0 0 1 𝜓100 1s
2
0 0
4
𝜓200 2s
1
-1 𝜓21(−1)
2p
0 𝜓210
1 𝜓211
 Ký hiệu trạng thái
ℓ 0 1 2 3 4 5 6
s p d f g h i
 Electron trong nguyên tử Hydro có n = 2
5.4.4. Trạng thái lượng tử của electron
Xác suất tìm thấy electron
12
5.4.5. Xác suất tìm electron trong thể tích dV ở một trạng thái nào đó
= ddsindrr),(Y)r(RdV) 2
2
mn
2
mn  
Nguyên tử kim loại kiềm có hóa trị
bằng 1
Lớp ngoài cùng chỉ có 1 electron liên
kết yếu với hạt nhân
Ngoài tương tác giữa electron và nhân
còn có tương tác giữa các electron
Năng lượng electron hóa trị:
𝐸𝑛ℓ = −
𝑅ℎ
𝑛 + Δℓ 2
13
5.5 Nguyên tử kim loại kiềm
5.5.1 Năng lượng electron hóa trị
Δℓ: hệ số hiệu chỉnh Rydberg, phụ thuộc vào ℓ
Z Nguyên tố kim loại kiềm (l = 0) (l = 1) (l = 2) (l = 3)
3
11
19
37
55
Li
Na
K
Rb
Cs
-0,412
-1,373
-2,230
-3,195
-4,131
-0,041
-0,883
-1,776
-2,711
-3,649
-0,002
-0,010
-0,146
-1,233
-2,448
-0,000
-0,001
-0,007
-0,012
-0,022
Trong vật lí nguyên tử mức năng lượng được kí hiệu bằng nX
(hay E𝑛ℓ), n là số lượng tử chính, còn X tùy thuộc vào số lượng
tử ℓ như sau:
ℓ 0 1 2 3 4
X S P D F G
5.5.1. Năng lượng của electron hóa trị trong nguyên tử kim 
loại kiềm 
2D là mức năng lượng
ứng với n = 2, ℓ = 2 
15
n ℓ Trạng thái Mức năng lượng Lớp
1 0 1s 1S (E1,0) K
2 0
1
2s
2p
2S (E2,0)
2P (E2,1)
L
3 0
1
2
3s
3p
3d
3S (E3,0)
3P (E3,1)
3D (E3,2)
M
Bảng 5.3: Mức năng lượng ứng với các trạng thái lượng tử của nguyên tử kim loại kiềm
5.5.1. Năng lượng của electron hóa trị trong nguyên tử kim 
loại kiềm 
 Quy tắc lọc lựa: 
Δℓ = ±1, Δ𝑗 = 0,±1
Ví dụ: Electron hóa trị của nguyên tử Li 
nằm ở mức 2S. 
Các dịch chuyển có thể:
nP → 2S, (n ≥ 2, ℓ=1)
nS → 2P, (n > 2, ℓ=0)
nD → 2P, (n > 2, ℓ=2)
nF → 3D, (n > 3, ℓ=3)
16
5.5.2 Quang phổ của nguyên tử kim loại kiềm
17
5.6.1. Mômen động lượng quỹ đạo
𝐿 = ℓ ℓ + 1 ℏ
 Góc giữa 𝐿 và 𝐿𝑧:
 Độ lớn momen động lượng quỹ đạo
𝐿𝑧 = 𝑚ℓℏ
Hình chiếu lên phương z
cos 𝜃 =
𝐿𝑧
𝐿
=
𝑚ℓ
ℓ(ℓ + 1)
 Electron quay quanh hạt nhân tạo nên dòng điện 𝑖
chạy ngược với chiều chuyển động của electron
 Momen từ
Ԧ𝜇𝑚 = 𝑖 Ԧ𝑆
| Ԧ𝑆| = 𝜋𝑟2: diện tích
𝑖 = 𝑒𝜈: cường độ dòng điện, 𝜈: tần số chuyển động
Ԧ𝜇𝑚 = −
𝑒
2𝑚𝑒
𝐿
𝜇𝑚 = −
𝑒ℏ
2𝑚𝑒
ℓ ℓ + 1 = 𝜇𝐵 ℓ(ℓ + 1)
𝜇𝐵 = 9,274. 10
−24J/T: Magneton Bohr
18
5.6.2 Mômen từ
Hình chiếu mômen từ lên trục z:
𝜇𝑚𝑧 = −
𝑒
2𝑚𝑒
𝐿𝑧 = −
𝑒ℏ
2𝑚𝑒
𝑚ℓ = −𝑚ℓ𝜇𝐵
𝑚ℓ: số lượng tử từ
Mômen từ bị lượng tử hóa
Khi electron chuyển đổi trạng thái, 𝑚ℓ biến đổi 
theo quy tắc: 
Δ𝑚ℓ = 0,±1
19
5.6.2 Mômen từ
Hiện tượng tách vạch quang
phổ khi nguyên tử phát sáng
đặt trong từ trường
20
BE m
−= 
5.6.3. Hiệu ứng Zeeman
B = 0 B ≠ 0
N
ă
n
g
lư
ợ
n
g
N
ă
n
g
lư
ợ
n
g
Nguyên tử đặt trong từ
trường