Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Bài: Cơ học vật rắn - Lê Công Hảo

CƠ HỌC VẬT RẮN
PGS. TS. Lê Công Hảo
MUÏC TIEÂU
Sau baøi hoïc naøy, SV phaûi : 
- Xác định được khối tâm các VR đồng nhất
- Tính được mômen quán tính của VR
- Giải được bài toán ĐLH VR đơn giản
CƠ HỌC VẬT RẮN
Vật rắn (VR): 
+ Là một hệ chất điểm.
+ Khoảng cách giữa các chất điểm
không đổi trong quá trình chuyển
động
+ Áp dụng được các qui luật CĐ hệ
chất điểm vào CĐ vật rắn. 
1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VR
 Khi VR tònh tieán, moïi ñieåm treân VR ñeàu vaïch ra
caùc quõi ñaïo gioáng nhau vôùi cuøng moät vaän toác.
M N G
M N G
v v v
a a a
→ → →
= =
= =
1 – Tịnh tiến:
• Mọi điểm trên vật rắn:
+ Cùng vectơ vận tốc
+ Cùng vectơ gia tốc
2. Khoái Taâm C 
Định nghĩa: Xem vật rắn như một hệ gồm n 
chất điểm.
1
1
n
i i
i
C n
i
i
m r
r OC
m
→
→ →
=
=
= =


m
1
m
3
m
2
C
O
1r
→
2r
→
3r
→
Gr
→
+ C được gọi là khối tâm của
vật rắn nếu vị trí C thoả:
2. KHOÁI TAÂM C (“COM”)
VR
0rdm = 
1 - Ñònh nghóa: Nếu chọn gốc toạ độ trùng khối tâm C
Khoái taâm cuûa heä laø ñieåm C thoûa maõn:
1
0
n
i i
i
m r
=
=
C
m
1
m
3
m
2
M
1
M
2
M
3
Nếu khối lượng vật rắn phân bố liên tục
1
0C
M
r rdm
M
= = 
1
n
i
i
M m
=
=
* Ñaëc ñieåm cuûa C:
– Ñaëc tröng cho heä; laø ñieåm ruùt goïn cuûa heä.
– Naèm treân caùc yeáu toá ñoái xöùng.
* Phaân bieät khoái taâm vaø troïng taâm:
– Troïng taâm laø ñieåm ñaët cuûa troïng löïc
– Treân thöïc teá C truøng vôùi troïng taâm G
Toaï ñoä khoái taâm:
* Heä chaát ñieåm:
* Vaät raén:
=

===
m
zm
,
m
ym
,
m
xm
G)z,y,x(G
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
ii
GGG
=
m
zdm
,
m
ydm
,
m
xdm
G)z,y,x(G VRVRVRGGG
* Ñoäng löôïng cuûa khoái taâm :
n
i
i
c i
c n
i
i
dr
m
dr dt
V
dt
m
= =


,
n n
i i i
he vati i
n n n
i i i
i i i
m v p
P
m m m
= = =
 
  
,
n
he vati cc
i
p m v P
= = 

1
c i i
i
r m r
m
= 
1v
2v
3v
1m
2m
3m
11m v
22m v
3 3m v
cP p=
Đặc điểm khối tâm
Gia tốc khối tâm
1 1 1
n n n
i
i i i i
c i i i
c n n n
i i i
i i i
dv
m m a F
dv dt
a
dt
m m m
= = == = = =
  
  
1
n
i
i
M m
=
=
cF M a=
1
n
i
i
F F
=
=
Ñaëc tröng ñoäng löïc hoïc cuûa vaät raén chuyeån ñoäng tònh
tieán xem nhö ñoàng nhaát vôùi ñoäng löïc hoïc cuûa khoái taâm,
töùc cuûa moät chaát ñieåm maø ta ñaõ quen bieát.→ Chæ caàn
xeùt chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén.
Chuyển động quay 
quanh trục của vật rắn
Trong cïng kho¶ng thêi gian
mäi ®iÓm cïng quay ®i gãc 
Mäi ®iÓm cã cïng vËn tèc gãc
=d/dt & gia tèc gãc
=d/dt=d2/dt2
Vaän toác daøi
i
i i
v R v R
a R
 

→ → →
= =
= Gia tốc tiếp tuyến
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 
QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
M
O
Hình 4.7: Lực tác dụng lên
vật rắn quay quanh trục
//F
tF
F
⊥F
nF
ω
 Xét vật rắn quay quanh một trục
cố định dưới tác dụng của ngoại lực
Ta có thể phân tích thành 
các thành phần khác nhau:
F
⊥+= FFF //
nt FFF
+=⊥Mà:
Vậy: nt// FFFF
++=
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
4.2.1. Mômen động lượng của
vật rắn quay
➢ Mômen động lượng
của chất điểm thứ i đối
với trục quay là:
iii pxrL
=
Hình 4.8 
mi


M
iL
iF
ip
▪ hướng theo
phương tiếp tuyến.
▪ hướng theo phương
bán kính.
iii vmp
=
ir
hướng theo trục quay
iL
ir
4.2. Phöông trình cô baûn cuûa vaät raén quay :
il
i
ir iv
im
. ii iv r = 
. .i i i iiiL r p r m v = = 
,i i ir v p⊥
( ) 2i i i i i i i i i i iL m rv m r r m r = = =
2 2
i i i i i iL m r m r = =
i =
+Vaät raén ñang quay quanh truïc .
Xeùt chaát ñieåm im ivcoù vaän toác
Xaùc ñònh veùc tô i
+ Momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm,theo 
ñònh nghóa :
Caùc chaát ñieåm coù cuøng vaän toác goùc :
2 2
i i i i i iL m r m r = =
2
i i i
i i
L L m r= = 
2
i iI m r=
Momen ñoäng löôïng cuûa vaät raén quay ñoái vôùi truïc :
L I L I = → =
( ) ( ); tt L L = =
d L d
I I
dt dt

= =
d L
M
dt
=
M I=
Ñaët 
: Momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc 
Tröôøng hôïp toång quaùt :
Ñaët 
Phöông trình cô baûn cuûa chuyeån ñoäng quay vaät raén .
4.3.1. Công thức
MÔMEN QUÁN TÍNH 
CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN
➢ Mômen quán tính với một trục quay xác
định cho vật rắn gồm các chất điểm phân bố
rời rạc:

=
=
n
1i
2
iiRmI
➢ Khi vật rắn gồm các chất điểm phân bố liên tục: 
dmRI
m
2
 =
4.3.1.1.Mômen quán tính I của một
thanh đồng chất đối với trục quay vuông
góc với thanh tại trung điểm
Bài toán
Cho một thanh có chiều dài ℓ, khối lượng
m, tiết diện S. Tìm mômen quán tính I đối
với trục quay là trung trực của thanh.
Giả sử thanh nằm dọc theo trục Ox.
MÔMEN QUÁN TÍNH 
CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN
Hình 4.10: Mômen
quán tính của thanh
o
x x+ dx
dm
Chọn dm như hình vẽ. Gọi là khối lượng riêng của
thanh thì dm = Sdx.
dmxI
m
2
 =
3
2
2
2 ρSl
12
1
dxρSxI == 
−


Với Sl = m là khối lượng thanh.
Vậy: = 2
1
I ml
12
Với R = x, ta có:
4.3.1.2 Mômen quán tính I của vòng tròn
đối với trục quay là trục của vòng tròn
Bài toán
Cho vòng tròn tâm O bán kính R, khối
lượng m. Tìm mômen quán tính của vòng
tròn đối với trục quay là trục của vòng
tròn.
Hình 4.11: Mômen quán
tính của vòng tròn
O R
dm
Chia vòng tròn ra làm nhiều
phần nhỏ có khối lượng dm, vì ở
trên vòng tròn nên dm cách tâm O
một khoảng bằng bán kính R. Vậy
ta có:
= 2I mR
dmRI
m
2
 =
2
m
2 mRdmRI == 
Vậy:
4.3.1.2 Mômen quán tính I của vòng tròn
đối với trục quay là trục của vòng tròn
4.3.1.3 Mômen quán tính I của một đĩa
tròn đối với trục quay là trục của đĩa
Bài toán
Cho một đĩa tròn mỏng tâm O bán kính R,
khối lượng m. Tìm mômen quán tính của
đĩa tròn đối với trục quay là trục của đĩa.
Hình 4.13: Mômen quán
tính của đĩa tròn
R
r
dr
Chia đĩa thành nhiều vành
tròn tương đương những vòng
tròn có bán kính trong r, bán kính
ngoài r + dr, diện tích của vành
là dS = 2 rdr và khối lượng của
nó là dm = dS, với  là khối
lượng trên đơn vị diện tích.
4.3.1.3 Mômen quán tính I của một đĩa
tròn đối với