Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số nhiều biến số

1/25/2013
1
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Bài 2. Đạo hàm riêng – Vi phân
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
Bài 1. Khái niệm cơ bản
1.1. Các định nghĩa
1.2. Giới hạn của hàm hai biến số
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
1.3. Hàm số liên tục
1.1. Các định nghĩa
Bài 1. Khái niệm cơ bản
a) Miền phẳng
D
D
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Miền đóng
D
D
D D D 
1/25/2013
2
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Miền mở
D
\D D D 
D
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Miền đơn liên
D
D
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D
Miền đa liên
1 2 3D C C C  
1C
2C 3C
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D•
•
Miền liên thông
1/25/2013
3
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D
Miền không liên thông
Bài 1. Khái niệm cơ bản
b) Lân cận của một điểm trong mặt phẳng
• M0
ε
S(M0,ε)
0 0( , ) ( , )M S M d M M  
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• M0ε
H(M0,ε)
0
0
0
| |
( , ) ( , )
| |
x x
M x y H M
y y
    
Bài 1. Khái niệm cơ bản
• M1
• M2
• M3
Điểm trong Điểm ngoài
Điểm biên
D
D
1/25/2013
4
Bài 1. Khái niệm cơ bản
d) Hàm số hai biến số
2:f D   
( , )( ) ., zy f yD xx 
 • Tập  2D được gọi là miền xác định (MXĐ) 
của hàm số ( , )f x y , ký hiệu là fD . 
2{( , ) | ( , ) }fD x y f x y 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 • ( , )z f x y được gọi là giá trị của hàm số tại ( , )x y . 
0 0 0( , ) ( )z f x y f M 
zO
0y
0xO
0 0( , )M x y•
x
y
•
0z
Bài 1. Khái niệm cơ bản
O
x
y
z
b
Đồ thị của hàm số z = f(x,y)
D
• N(a,b,c)
• Ma
( ) ( , )f M a cf b S
{( , , ( )) | ( , ) }S x y f M M x y D 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 1 
 • Hàm số 2( , ) 3 cosf x y x y xy có 2fD . 
 • Hàm số 2 24z x y có MXĐ là hình tròn 
đóng tâm (0; 0)O , bán kính 2R . 
 Vì 2 2( , ) 4 0zM x y D x y 
2 2 4x y . 
1/25/2013
5
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 • Hàm số 2 2ln(4 )z x y có MXĐ là hình tròn 
mở tâm (0; 0)O , bán kính 2R . 
 Vì 2 2( , ) 4 0zM x y D x y 
2 2 4x y . 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 • Hàm số ( , ) ln(2 3)z f x y x y có MXĐ là 
nửa mp mở có biên : 2 3 0d x y , không 
chứa O . 
2 3 0x y 
O x
y
d
2 3 0x y 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số
a) Điểm tụ
• M0
• Mn
•
•
•
•
••
•
•
•
•••
••••••••••
 VD. (0, 0)O là điểm tụ của dãy điểm 
2
1 1
,nM n n
. 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
b) Định nghĩa giới hạn bội
 • Điểm 0 0 0( , )M x y được gọi là giới hạn của dãy 
điểm ( , ), 1,2,...n n nM x y n nếu 0 0 0( , )M x y là 
điểm tụ duy nhất của dãy. 
 Ký hiệu là: 
0lim nn
M M
 hay 0
n
nM M
  . 
1/25/2013
6
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 • Hàm số ( , )f x y có giới hạn là  { }L khi 
0
n
nM M
  nếu lim ( , )n nn
f x y L
 . 
 Ký hiệu là 
0
lim ( )
M M
L f M
0 0
0
0( , ) ( , )
lim ( , ).lim ( , )
x y x y x x
y y
f x y f x y
Bài 1. Khái niệm cơ bản
D
D
••
O
x
y
zO
( )

L

0M
M
f
•
Bài 1. Khái niệm cơ bản
O x
y
• M0
• M
z
• L
• ( )f M
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 2. 
2
2( , ) (1, 1)
2 3 1 3
lim
23x y
x y x
xy
. 
1/25/2013
7
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 3. Tìm 
 ( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y , 
 2 2
( , )
xy
f x y
x y
. 
 Giải. 
0
0
2 2 2
0 ( , ) 0.
x
yxy xy
f x y x
x y y
  
 Vậy 
( , ) (0,0)
lim ( , ) 0
x y
f x y . 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
Nhận xét
O x
y
• M
• 
M0
r0
y y 
0x x 0
0
cos
sin
x x r
y y r
0 0M M r 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 4. Tìm 
2 2
2 2( , ) (0,0)
sin( )
lim
x y
x y
x y
. 
 Giải. Đặt cos , sinx r y r , ta có: 
2 2 2
2 2 2( , ) (0,0) 0
sin( ) sin
lim lim 1
x y r
x y r
x y r
. 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 5. Cho hàm số 
 2 2
2
( , )
xy
f x y
x y
. 
 Chứng tỏ rằng 
 ( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y không tồn tại. 
 Giải. Đặt cos , sinx r y r , ta có: 
2
2( , ) (0,0) 0
sin2
lim ( , ) lim sin2
x y r
r
f x y
r 
 . 
 Do giới hạn phụ thuộc vào nên không duy nhất. 
 Vậy 
 ( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y không tồn tại. 
1/25/2013
8
Bài 1. Khái niệm cơ bản
c) Giới hạn lặp
 Giới hạn theo từng biến khi dãy điểm ( , )n n nM x y 
dần đến 0M của ( , )f x y được gọi là giới hạn lặp. 
 • Khi 0x x trước, 0y y sau thì ta viết 
00
lim ( , )lim
x xy y
f x y
 • Khi 0y y trước, 0x x sau thì ta viết 
00
lim ( , )lim
y yx x
f x y
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 Chú ý 
 • Nếu 
0 0 0 0
lim lim ( , ) lim lim ( , )
y y x x x x y y
f x y f x y
 thì không 
tồn tại 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
. 
 • Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại 
của giới hạn bội. 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 6. Xét hàm số 
2 2
2 2
sin sin
( , )
x y
f x y
x y
. 
 Ta có: 
2
20 0 0
sin
lim lim ( , ) lim 1
y x y
y
f x y
y
, 
2
20 0 0
sin
lim lim ( , ) lim 1
x y x
x
f x y
x
. 
 Vậy 
0 0 0 0
lim lim ( , ) lim lim ( , )
y x x y
f x y f x y . 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
1.3. Hàm số liên tục
 • Hàm số ( , )f x y liên tục tại 20 0 0( , )M x y D  
nếu 
0 0
0 0( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
 • Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập  2D nếu nó 
liên tục tại mọi điểm thuộc D . 
1/25/2013
9
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 Chú ý 
 Hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng giới nội D 
thì nó đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) 
trên D . 
Bài 1. Khái niệm cơ bản
 VD 7. Xét sự liên tục của 
2 2
2 2
sin sin
( , )
x y
f x y
x y
. 
Giải 
 • Với ( , ) (0, 0)x y thì hàm số ( , )f x y xác định 
nên liên tục. 
 • Tại (0, 0) thì 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
 không tồn tại. 
Vậy hàm số ( , )f x y liên tục trên 2 \ {(0, 0)}. 
.
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
2.1. Đạo hàm riêng
2.2. Vi phân
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp
2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn
2.5. Đạo hàm theo hướng
2.1. Đạo hàm riêng
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
2.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1
 Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở  2D 
chứa điểm 0 0 0( , )M x y . 
 Cố định 0y , nếu hàm số 0( , )f x y có đạo hàm tại 0x 
thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x 
của hàm số ( , )f x y tại 0 0( , )x y , ký hiệu là: 
0 0( , )xf x ... ạo hàm – Vi phân
2.5.1. Hàm vector
2.5. Đạo hàm theo hướng – Vector gradient
 • Ánh xạ 
 : nr T  
1 2
( ) ( ( ), ( ),..., ( ))
n
t r t x t x t x t 
 được gọi là một hàm vector. 
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
 • Giới hạn 
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
t t t t
r t v r t v 
 • Đạo hàm 
1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nr t x t x t x t 
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
0( )r t
• 
O
M0 
•
M
•
0( )r t t 
Tốc đồ
0( )r t 
1/25/2013
25
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
a) Định nghĩa
2.5.2. Đạo hàm theo hướng 
•
M0
v
 ( , , )f x y z xác định
M
•
r
 00
0
( ) ( )
( ) limv
r
f M f M
f M
r
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
b) Cosin chỉ phương
 Gọi  , , lần lượt là góc tạo bởi ( , , )x y zv v v v 
khác 0
 với 
, ,i j k . Khi đó  cos , cos , cos được 
gọi là các cosin chỉ phương của 
v và: 
   cos , cos , cos
| | | | | |
yx z
vv v
v v v
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
0 0 0
0 0 0 0( ) ( ( ), ( ), ( )
( )cos (
)
)cos ( )cos
, ,
| | | | | |
yx
x z
v
y
z
x y z
vv v
f M f M f M f M
v v v
f M f M f M
  
Vậy ta có:
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
2.5.3. Vector gradient
 0 0 0 0( ) ( ), ( ), ( )x y zf M f M f M f M  
0 0( ) ( ). | |v
v
f M f M
v
  
Vậy ta có:
1/25/2013
26
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
Ý nghĩa
( ) : ( , ) 0C f x y 
•
M
( )n f M 
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
( ) : ( , , ) 0S f x y z 
•
M
( )n f M 
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
 VD 22. Cho hàm 2 2 2( , , )f x y z x y z và 
 vector 
(1; 2; 2)v . 
 Tính  ( ), ( )vf M f M tại (0; 4; 3)M . 
 Giải. Ta có: 
4 3
( ) 0, ( ) , ( )
5 5x y z
f M f M f M . 
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
 Mặt khác 
1 2 2
(1; 2; 2) ; ;
| | 5 5 5
v
v
v
 . 
 Vậy 
  
4 3
( ) 0; ;
5 5
f M và 
2
( ) ( ).
| | 15v
v
f M f M
v
  
 . 
1/25/2013
27
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
 VD 23. Trong mặt phẳng, cho đường cong 
2 2( ) : 3 2 1 0C x y xy y . 
Viết pttt với ( )C tại (1; 1)M . 
 Giải. Ta có 2 2( , ) 3 2 1f x y x y xy y 
( ) 5
x
f M , ( ) 1 (5; 1)
y
f M n 
. 
Vậy : 5 4 0x y . 
Bài 2. Đạo hàm – Vi phân
 VD 24. Trong không gian, cho mặt parabolic eliptic 
2
2( ) : 2
4
x
S z y . 
Viết pt tiếp diện ( )P với ( )S tại (2; 3; 8)M . 
 Giải. Ta có 2 2( , , ) 4 4 8f x y z x y z 
( ) 4
x
f M , ( ) 24
y
f M , ( ) 4
z
f M 
( )
(1; 6; 1)
P
n 
. 
Vậy ( ) : 6 12 0P x y z . 
.
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.1. Định nghĩa
Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
3.2. Cực trị tự do
3.3. Cực trị có điều kiện
3.4. Cực trị toàn cục (max – min)
3.1. Định nghĩa
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
Xem bài giảng!
1/25/2013
28
Cực trị tự do
O
x
y
z
S
( , )z f x y 
Điểm cực đại
•
•
•
•
•
•
1M
2M
1P
2P
CTz
z
CÑ
Điểm cực tiểu
O
x
y
z
S ( , )z f x y 
•
•
Điểm cực đại
•
•
Điểm cực tiểu
( )
1M
2M
1P
2P
•
•
CTz
z
CÑ
Cực trị có điều kiện
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.2.1. Định lý
a) Điều kiện cần
3.2. CỰC TRỊ TỰ DO
 Nếu hàm số ( , )z f x y đạt cực trị tại 0 0 0( , )M x y 
và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì 
0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Điểm 0 0 0( , )M x y thỏa 0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y 
được gọi là điểm dừng, 0M có thể không là điểm 
cực trị. 
1/25/2013
29
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
b) Điều kiện đủ
 Giả sử hàm ( , )z f x y có điểm dừng là 0M và có 
đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0M . 
 Đặt 2 20 0 0( ), ( ), ( )xyx yA f M B f M C f M 
 và 2AC B . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Nếu 
0
0A
 thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0M . 
 • Nếu 
0
0A
 thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0M . 
 • Nếu 0 thì ( , )f x y không đạt cực trị tại 0M . 
 • Nếu 0 thì ta không thể kết luận. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.2.2. Phương pháp tìm cực trị tự do
 • Bước 1. Giải hệ tìm điểm dừng 0 0 0( , )M x y : 
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
f x y
f x y
 • Bước 2. Tính 2 0 0 0 0( , ), ( , )xyxA f x y B f x y
 , 
 2 0
2
0( , )yC f x y AC B
 . 
 • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 2. Tìm điểm dừng của hàm (1 )z xy x y . 
 Giải. Ta có: 
2
2
0 2 0
0 2 0
x
y
z y xy y
z x xy x
2 2
2
( ) ( ) 0
2 0
x y x y
x xy x
1/25/2013
30
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
2
( )( 1) 0
2 0
x y x y
x xy x
. 
 Vậy hàm số có 4 điểm dừng: 
 1 2 3 4
1 1
(0; 0), (0; 1), (1; 0), ;
3 3
M M M M . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 3. Tìm cực trị của hàm số 
 2 2 4 2 8z x y x y . 
 Giải. 
2 4 0
2 2 0
x
y
z x
z y
 ( 2; 1)M là điểm dừng. 
2
2
( 2; 1) 2
4 0
( 2; 1) 0
0
( 2; 1) 2
x
xy
y
A z
B z
A
C z
. 
Vậy ( 2; 1)M là điểm cực tiểu và 3CTz . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 4. Tìm cực trị của hàm số 
 3 3 3 2z x y xy . 
 Giải. Ta có: 
2
2
3 3 0
3 3 0
x
y
z x y
z y x
 1 2(0; 0), (1; 1)M M là hai điểm dừng. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Tại 1M : 0, 3 0A C B 
 1M không là điểm cực trị. 
 • Tại 2M : 6 0, 3 0A C B 
Vậy 2(1; 1)M là điểm cực tiểu và 3CTz . 
1/25/2013
31
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 5. Tìm cực trị của hàm số 
 2 3 2 23 3 3 2z x y y x y . 
 Giải. Ta có 2 2
6 6 0
3 3 6 0
x
y
z xy x
z x y y
 Suy ra hàm số có 4 điểm dừng: 
1 2 3 4(0; 0), (0; 2), (1; 1), ( 1; 1)M M M M . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Do 2 26 6, 6 , 6 6xyx yz y z x z y
 nên 
 • Hai điểm 3 4,M M không là điểm cực trị. 
 • Điểm 1M là điểm cực đại và 2Cz Đ . 
 • Điểm 2M là điểm cực tiểu và 2CTz . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 6. Cho hàm số 
50 20
( 0, 0)z xy x y
x y
. 
 Khẳng định đúng là: 
 A. z đạt cực tiểu tại (2; 5)M và 39CTz . 
 B. z đạt cực tiểu tại (5; 2)M và 30CTz . 
 C. z đạt cực đại tại (2; 5)M và 39z CÑ . 
 D. z đạt cực đại tại (5; 2)M và 30z CÑ . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Giải. Ta có 
2
2
50
0
20
0
x
y
z y
x
z x
y
2
2
50
20
x y
xy
2
5
5
2 (5; 2)
2
20
x
x
y M
y
xy
. 
 Vi phân cấp hai: 2 23 3
100 40
, 1,xyx yz z zx y
 2 3 0AC B B . 
1/25/2013
32
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
(cực trị vướng)
 Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm 
0 0 0( , )M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0x y . 
 Nếu tại điểm 0M , hàm ( , )f x y đạt cực trị thì ta nói 
0M là điểm cực trị có điều kiện của ( , )f x y với 
điều kiện ( , ) 0x y . 
O
x
y
z
S ( , )z f x y 
•
•
Điểm cực đại
•
•
Điểm cực tiểu
( )
1M
2M
1P
2P
•
•
CTz
z
CÑ
Cực trị có điều kiện
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.3.1. Phương pháp khử 
 Từ ( , ) 0x y , ta rút x hoặc y thế vào hàm ( , )f x y . 
Sau đó, ta tìm cực trị của hàm một biến. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm số 2z x y thỏa 
điều kiện 3 0x y . 
 Giải. 3 23 0 3 3x y y x z x x . 
 Ta có 23 6 0 2, 0z x x x x . 
 • 2 1x y z đạt cực đại tại 1( 2; 1)M . 
 • 0 3x y z đạt cực tiểu tại 2(0; 3)M . 
1/25/2013
33
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.3.2. Phương pháp nhân tử Lagrange
 • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange) 
( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y  
Số thực  được gọi là nhân tử Lagrange. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Bước 2. Giải hệ 
0
0
0
x
y
L
L
L
 Suy ra điểm dừng 0 0 0( , )M x y ứng với 0 . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Bước 3. Ứng với 0 , ta tính 
2 2
2 2 2
0( ) 2 xyx yd L M L dx L dxdy L dy
 Vi phân ,dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc 
0
2
0
2
0( ) ( ) ( ) 0 (1)
( ) ( ) 0 (2)
x yd M M dx
dx dy
M dy 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: 
 Nếu 2 0( ) 0d L M thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0M . 
 Nếu 2 0( ) 0d L M thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0M . 
 Nếu 2 0( ) 0d L M thì chưa đủ cơ sở để kết luận. 
1/25/2013
34
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số 
( , ) 2f x y x y 
 với điều kiện 2 2 5x y . 
 Giải. Lập hàm Lagrange: 
2 2 2 25 ( , ) 5x y x y x y 
 2 2( , , ) 2 ( 5)L x y x y x y   . 
 Tìm điểm dừng: 

   
2 2
0 2 2 0
0 1 2 0
0 5 0
x
y
L x
L y
L x y
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
       
1 1
2 2
2 2
1
1
(2; 1), 1 2
12
( 2; 1), 1 1 25
4
x
M
y
M
. 
 Vi phân cấp hai 2 2 2( , ) 2 ( )d L x y dx dy  . 
 • 2 2 21( ) ( ) 0d L M dx dy 
1M là điểm cực đại. 
 • 2 2 22( ) 0d L M dx dy 
2M là điểm cực tiểu. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số 2 2z x y 
 thỏa điều kiện 2 2 3 4x y x y . 
 Giải. Ta có 2 2( , ) 3 4x y x y x y 
  2 2 2 2( 3 4 )L x y x y x y . 
 Điểm dừng: 
2 2
2 (2 3) 0
2 (2 4) 0
3 4 0
x
y
L x x
L y y
L x y x y
   
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
1 1
2 2
(0; 0), 0
(3; 4), 2
M
M
   
. 
 Vi phân 2 2 2( , ) (2 2 )( )d L x y dx dy  , ta có: 
 • 2 1 1( ) 0d L M M là điểm cực tiểu và 0CTz . 
 • 2 2 2( ) 0d L M M là điểm cực đại và 25zCÑ . 
1/25/2013
35
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Chú ý. Nếu ta thay 2 2 3 4x y x y vào hàm z 
thì 3 4z x y và 
2 23 4 ( 3 4 )L x y x y x y  . 
 Khi đó kết quả không sai nhưng  thay đổi. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 10. Tìm điểm cực trị của z xy thỏa điều kiện 
2 2
1
8 2
x y
. 
 Giải. Ta có 
   
2 2
( , , ) 1
8 2
x y
L x y xy . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Tìm điểm dừng: 
2 2
0
4
0
1 0
8 2
x
y
x
L y
L x y
x y
L
   
2 2
4
1 0
8 2
y
x
x
y
x y
   
       
2 1 1
2 2
3 32 2
4 4
(2; 1), 2
4
( 2; 1), 2
( 2; 1), 2
4 8 (2; 1), 2
M
M
x y
M
x y M
. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Vi phân cấp hai 
2 2 2( , ) 2
4
d L x y dx dxdy dy

  . 
 • Tại 1M : 
2 2 2
1
1
( ) 2 2
2
d L M dx dxdy dy (*). 
 Mặt khác, ( , )
4
x
d x y dx ydy 
 1( ) 0 2 0d M dx dy . 
 2 21 1(*) ( ) 8 0d L M dy M là ĐCĐ. 
 • Tại các điểm 2 3 4, ,M M M ta làm tương tự. 
1/25/2013
36
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Cách khác (chỉ dùng trong trắc nghiệm) 
 2 2 21
1
( ) 2 2
2
d L M dx dxdy dy 
 2 1
1
2 0
2
dx dy M là ĐCĐ. 
 Chú ý 
 Khi ta thay ( , ) 0x y bởi một phương trình 
tương đương thì nhân tử  sẽ thay đổi nhưng 
không làm thay đổi kết quả của bài toán. 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 11. Tìm cực trị của hàm số ( , ) 10 40f x y x y 
 thỏa điều kiện 20xy và , 0x y . 
 Giải. Ta có: 
 20xy 400 ( , ) 400xy x y xy 
  10 40 ( 400)L x y xy . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Điểm dừng: 

    
10 0 40
40 0 10
400 0 1
x
y
L y x
L x y
L xy
. 
 Vi phân cấp 2: 2 20; 1; 0xyx yL L L 
 2 (40; 10) 2d L dxdy . 
 Điều kiện: ( , )d x y ydx xdy 
 (40; 10) 0d 4 0dx dy 
Vậy (40; 10)M là điểm cực tiểu của ( , )f x y . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
3.4. Max – Min của hàm hai biến
trên miền đóng, bị chặn
 Cho miền  2D đóng có biên : ( , ) 0D x y 
và ( , )f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D 
mở (có thể không khả vi tại hữu hạn điểm). 
1/25/2013
37
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Bước 1. Tìm các điểm 1,..., mM M trên D 
 mà tại đó hàm f không khả vi. 
 • Bước 2. Tìm các điểm dừng 1,..., nN N trong D 
(dùng cực trị tự do). 
 • Bước 3. Tìm các điểm dừng 1,..., pP P trên D 
thỏa điều kiện ( , ) 0x y 
(dùng cực trị có điều kiện). 
 • Bước 4. Giá trị max ( , ), min ( , )
D D
f x y f x y tương ứng 
là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị: 
1( ),..., ( )mf M f M , 1( ),..., ( )nf N f N , 
1( ),..., ( )pf P f P . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
 2 2( , )f x y x y trong miền 2 2
3
:
4
D x x y . 
Giải
 • Xét hàm ( , )f x y trong miền mở 
 2 2
3
:
4
D x x y . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Ta có 
0
(0; 0)
0
x
y
f
N
f
 là điểm dừng thuộc D . 
 • Xét hàm ( , )f x y trên  2 2
3
:
4
D x x y . 
 Ta có 2 2 2 2(4 4 4 3)L x y x x y  . 
2 2
2 (2 1) 0
0 2 2 0
4 4 4 3
x y
x x
L L L y y
x x y

   
. 
 Suy ra 2 điểm dừng thuộc D là: 
 1
3
; 0
2
P , 
 2
1
; 0
2
P . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 Do 1 2
9 1
( ) 0, ( ) , ( )
4 4
f N f P f P nên: 
 (0; 0)N là điểm cực tiểu và 2 2min( ) 0
D
x y ; 
 
 1
3
; 0
2
P là điểm cực đại và 2 2
9
max( )
4D
x y . 
1/25/2013
38
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 13. Cho hàm 2 2( , )f x y x y xy x y . 
Tìm max – min của ( , )f x y trong miền 
 : 0, 0, 3D x y x y . 
 Giải. Miền D là OAB với 
 ( 3; 0), (0; 3)A B . 
O
x
y
3 
A
B3 
D
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Tại các đỉnh OAB hàm số không khả vi, ta có: 
 ( ) 0, ( ) ( ) 6f O f A f B . 
 • Trong miền D , ta có: 
2 1 0
0
2 1 0x y
x y
f f
y x
 ( 1; 1)N là điểm dừng và ( ) 1f N . 
 • Trên cạnh : 3 0, 0OA x y , ta có: 
 2
1
( ,0) 0
2x
f x x x f x 
 1
1
; 0
2
P là điểm dừng và 1
1
( )
4
f P . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Trên cạnh : 0, 3 0OB x y , ta có: 
 2
1
(0, ) 0
2y
f y y y f y 
 2
1
0;
2
P là điểm dừng và 2
1
( )
4
f P . 
 • Trên cạnh : 3, 3 0AB y x x , ta có: 
 2
3
( , ) 3 9 6 0
2x
f x y x x f x 
 3
3 3
;
2 2
P là điểm dừng và 3
3
( )
4
f P . 
Vậy max 6
D
f tại ,A B và min 1
D
f tại N . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 VD 14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
 sin sin sin( )z x y x y 
trong miền 
 : 0 , 0
2 2
D x y . 
 Giải. Miền D là hình vuông OABC , trong đó: 
; 0 , ; , 0;
2 2 2 2
A B C . 
 • Tại các đỉnh OABC hàm số không khả vi, ta có: 
 ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 2z O z A z B z C . 
1/25/2013
39
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Trong miền D , ta có: 
cos cos( ) 0
0
cos cos( ) 0x y
x x y
z z
y x y
;
3 3
N là điểm dừng và 
3 3
( )
2
z N . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Trên 2 cạnh ,OA OC (bỏ các điểm , ,O A C ) thì 
 hàm số không có điểm dừng. 
 • Trên cạnh 
 : , 0
2 2
AB x y , ta có: 
1 sin cosz y y 
 1
;
2 4
P là điểm dừng và 1( ) 1 2z P . 
Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số
 • Trên cạnh 
 : , 0
2 2
BC y x , ta có: 
1 sin cosz x x 
 2
;
4 2
P là điểm dừng và 2( ) 1 2z P . 
Vậy 
3 3
max
2D
z tại N và min 0
D
z tại O . 
..