Bài giảng Toán cao cấp A1-C1 (Bậc cao đẳng) - Huỳnh Hữu Dinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
HUỲNH HỮU DINH
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1
(BẬC CAO ĐẲNG)
TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Trang 2
Mục lục
1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 7
1.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37
2.1 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 TÍCH PHÂN 65
3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Tích phân hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7 Công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 87
3.8.1 Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . 88
3.9 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 94
3.11 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11.1 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.12 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 101
3
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
3.12.2 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.12.3 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13 Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.13.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Ma trận và định thức 117
4.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1 Các khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . 127
4.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.1 Hoán vị và nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông . . . . . 130
4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai
triển định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . 136
4.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B . . . . 149
4.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . 152
4.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 Hệ phương trình tuyến tính 171
5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . 171
5.1.1 Khái niệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2 Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3 Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4 Phương pháp phân rã LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.4.1 Phương pháp Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.4.2 Phương pháp Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng
quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . 190
5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195
6 Không gian vector 205
6.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính . . . . . . . . . . 207
6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . 210
6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector . . . . . . . . . . 216
6.5 Tọa độ của vector. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . 222
6.6 Không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Trang 4
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . 229
6.6.2 Không gian con nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.7 Không gian vector Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Trực chuẩn hóa
Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Trang 5
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Trang 6
Chương 1
GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ
LIÊN TỤC
1.1 Giới hạn hàm số
Định nghĩa 1.1. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến
về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f(x) xác định trong tập D.
Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a, ký hiệu
lim
x!a
f (x) = L, nếu với mọi  > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại  > 0 sao
cho jf(x) Lj <  với mọi x 2 D thỏa điều kiện jx aj < .
Ví dụ 1.1. Chứng tỏ rằng lim
x!1
(2x+ 1) = 3.
Giải. Với  > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức j(2x+ 1) 3j <  được thỏa
mãn thì
j(2x+ 1) 3j  ... 04
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
 Nếu '0(t)  0; (t)  0;8t 2 [; ]. Khi ấy miền D được giới hạn
trên bởi y = 0; giới hạn dưới bởi (
); giới hạn bên trái bởi x = '()
và giới hạn bên phải bởi x = '(): Chú ý là khi t tăng từ  đến
 thì x tăng từ b = '() đến a = '(): Vậy diện tích S của hình
phẳng được cho bởi
S = 
Z a
b
f(x)dx = 
Z 
 (t)'0(t)dt =
Z 
 (t)'0(t)dt: (3.16)
Kết hợp các trường hợp trên ta xét bài toán tính diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi đường cong (
) khép kín, không tự cắt, có phương
trình tham số 
x = '(t)
y = (t);
trong đó, '(t); (t) là hai hàm có đạo hàm không đồng thời triệt tiêu
trên [; ] và x() = x(): Dễ dàng kiểm tra rằng nếu chiều chuyển
động của điểm (x; y) = ('(t); (t)) trên (
) là cùng chiều kim đồng hồ
khi t tăng liên tục từ  đến  thì
S =
Z 
 (t)'0(t)dt; (3.17)
còn nếu chiều chuyển động của điểm (x; y) = ('(t); (t)) trên (
) là
ngược chiều kim đồng hồ khi t tăng liên tục từ  đến  thì
S = 
Z 
 (t)'0(t)dt: (3.18)
Ví dụ 3.48. Tính diện tích ellipse
x = a cos t;
y = b sin t;
với a > 0; b > 0:
Giải. Ta nhận thấy khi t tăng liên tục từ 0 đến 2 thì điểm (x; y) =
(a cos t; b sin t) chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Gọi S là diện tích
của ellipse, ta có S = 
Z 2
0
b sin t(a sin t)dt = ab
Z 2
0
sin2 tdt = ab: 
Biên của hình phẳng cho trong hệ tọa độ cực
Ta gọi hình quạt cong là một hình giới hạn bởi hai tia đi qua cực và một
đường cong mà mọi tia đi qua cực cắt đường cong đó không quá một
điểm. Gọi D là hình quạt cong giới hạn bởi hai tia ' = ; ' = ( < )
Trang 105
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
và đường cong r = r('); liên tục trên [; ] Chia D thành n hình quạt
cong nhỏ bởi các tia:
 = '0 < '1 < '2 < : : : < 'n = :
Với mỗi 1  k  n; xét hình quạt cong nhỏ Dk nằm giữa hai tia 'k1
và 'k: Vì r = r(') liên tục trên [; ] nên Dk có diện tích gần bằng với
diện tích của hình quạt bán kính r(tk) với 'k1  tk  'k; nghĩa là
S(Dk)  1
2
r2(tk)
'k;
với 
'k = 'k  'k1: Do đó, diện tích S của D được xấp xỉ bằng
Sn =
nX
k=1
1
2
r2(tk)
'k:
Mà Sn là tổng tích phân Riemann của hàm
1
2
r2(') liên tục trên [; ]
nên khi cho n! +1 sao cho max
1kn

'k ! 0 ta được
S =
Z 
1
2
r2(')d': (3.19)
Ví dụ 3.49. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r =
a cos 3'.
Giải. Gọi S là diện tích của hình phẳng. Do tính chất đối xứng của
hình, ta có
S
6
=
Z 
3
0
1
2
a2 cos2 3'd' =
a2
2
Z 
3
0
1 + cos 6'
2
d' =
a2
12
:
Suy ra S =
a2
2
: 
3.13.2 Tính thể tích vật thể
Trường hợp tổng quát
Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a; x =
b(a < b): Giả sử mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x cắt
vật thể theo thiết diện có diện tích là hàm liên tục S(x) trên [a; b]: Tính
thể tích của vật thể.
Trang 106
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Chia [a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
a = x0 < x1 < x2 < : : : < xk1 < xk < : : : < xn1 < xn = b:
Qua mỗi điểm chia xk; k = 0; n; ta dựng mặt phẳng vuông góc với Ox:
Các mặt phẳng này chia vật thể thành n vật thể nhỏ
Trên mỗi đoạn [xk1; xk]; k = 1; n; lấy tk tùy ý, dựng hình trụ đứng
giới hạn bởi các mặt x = xk1; x = xk và mặt trụ có đường sinh song
song với Ox; đi qua biên của thiết diện vật thể đã cho bởi mặt phẳng
x = tk: Thể tích hình trụ vừa dựng là S(tk)
xk;
xk = xkxk1: Do S(x)
liên tục trên [a; b] nên thể tích của vật thể được xấp xỉ bởi
Vn =
nX
k=1
S(tk)
xk:
Mà Vn là tổng tích phân của hàm S(x) trên [a; b] nên khi cho n ! +1
sao cho max
1kn

xk ! 0 thì giới hạn đó là thể tích V của vật thể. Vậy ta
có
V =
Z b
a
S(x)dx: (3.20)
Ví dụ 3.50. Tính thể tích hình cầu x2 + y2 + z2  a2; a > 0:
Giải. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 2 [a; a]
cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn
y2 + z2  a2  x2
có diện tích là
S(x) = (a2  x2):
Áp dụng công thức 3.20, thể tích V của hình cầu là
V =
Z a
a
S(x)dx =
Z a
a
(a2  x2)dx = 

a2x x
3
3
a
a
=
4
3
a3:
Vậy V =
4
3
a3: 
Hình tròn xoay quanh Ox
Hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a; x = b; y = 0 và y = f(x) 
0; liên tục trên [a; b]; quay quanh Ox tạo thành vật thể tròn xoay. Tính
thể tích vật thể tròn xoay.
Trang 107
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Dễ thấy mọi thiết diện vuông góc với trục Ox; tại điểm có hoành độ
là x; đều là hình tròn có tâm nằm trên Ox và có bán kính là y = f(x)
nên có diện tích S(x) là S(x) = y2 = [f(x)]2: Do đó, từ 3.20, thể tích
vật thể tròn xoay là
V = 
Z b
a
[f(x)]2dx: (3.21)
Ví dụ 3.51. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn
bởi đường cong y = sinx(0  x  ) và Ox khi quay quanh Ox:
Giải. Gọi V là thể tích của vật thể. Áp dụng công thức 3.21 ta có
V = 
Z 
0
sin2 xdx = 
Z 
0
1 cos 2x
2
dx =
2
2
:
Vậy V =
2
2
: 
Hình tròn xoay quanh Oy
Tương tự, hình thang cong giới hạn bởi các đường y = c; y = d; x = 0
và x = g(y)  0; liên tục trên [c; d]; quay quanh Oy tạo nên vật thể tròn
xoay có thể tích là
V = 
Z d
c
[g(y)]2dy: (3.22)
Trường hợp hình thang cong 0  y  f(x); 0  a  x  b quay quanh
Oy thì người ta chứng minh được vật thể tròn xoay có thể tích là
V = 2
Z b
a
xf(x)dx: (3.23)
Ví dụ 3.52. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn
bởi đường cong y = sinx(0  x  ) và Ox khi quay quanh Oy:
Giải. Gọi V là thể tích của vật thể. Áp dụng công thức 3.23 ta có
V = 2
Z 
0
x sin xdx = 2(x cos x+ sinx)j0 = 22:
Vậy V = 22: 
Trang 108
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
3.13.3 Tính độ dài cung phẳng
Cung cho trong hệ tọa độ Descartes
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; cunggAB
là đồ thị của y = f(x); x 2 [a; b]: Ta sẽ định nghĩa và tính độ dài l của
cunggAB.
Chia [a; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
a = x0 < x1 < x2 < : : : < xk1 < xk < : : : < xn1 < xn = b:
Lấy trên cunggAB các điểm
M0(x0; f(x0));M1(x1; f(x1)); : : : ;Mk(xk; f(xk)); : : : ;Mn(xn; f(xn)):
Lập tổng ln =
Pn
k=1Mk1Mk: Ta có
Mk1Mk =
p
(xk  xk1)2 + (f(xk) f(xk1))2: (3.24)
Theo định lý Lagrange ta có
f(xk) f(xk1) = f 0(tk)(xk  xk1); xk1  tk  xk: (3.25)
Thay 3.25 vào 3.24 ta được
Mk1Mk =
p
1 + [f 0(tk)]2(xk  xk1) =
p
1 + [f 0(tk)]2
xk:
Do đó,
ln =
nX
k=1
p
1 + [f 0(tk)]2
xk:
Vì f 0(x) liên tục trên [a; b] nên
p
1 + [f 0(x)]2 liên tục, và do đó khả
tích trên [a; b]: Mà ln là tổng tích phân của hàm
p
1 + [f 0(x)]2 trên [a; b]
nên có giới hạn hữu hạn, l; khi n! +1 sao cho max
1kn

xk ! 0: Ta gọi l
là độ dài của cung gAB và như vậy theo định nghĩa tích phân xác định
ta thu được
l =
Z b
a
p
1 + [f 0(x)]2dx (3.26)
Ví dụ 3.53. Tính độ dài của cung y = x
2
2
; 0  x  1:
Giải. Gọi l là độ dài cung. Áp dụng công thức 3.26 ta có
l =
Z 1
0
p
1 + x2dx =
1
2
h
x
p
1 + x2 + ln(x+
p
1 + x2)
i1
0
=
1
2
(
p
2 + ln
p
2):
Vậy l =
1
2
(
p
2 + ln
p
2): 
Trang 109
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Cung cho dưới dạng tham số
Xét cung gAB có phương trình tham số x = x(t); y = y(t);   t  :
Trong 3.26 thay dx = '0(t)dt và f 0(x) =
dy
dx
=
y0(t)
x0(t)
ta thu được
l =
Z 
p
[x0(t)]2 + [y0(t)]2dt (3.27)
Ví dụ 3.54. Tính độ dài của cung x = a(t sin t); y = a(1 cos t); 0  t 
2:
Giải. Gọi l là độ dài cung. Áp dụng công thức 3.27 ta có
l =
Z 2
0
p
[a(1 cos t)]2 + (a sin t)2dt = 2a
Z 2
0
sin
t
2
dt = 8a:
Vậy l = 8a: 
Cung cho trong hệ tọa độ cực
Xét cunggAB cho trong hệ tọa độ cực r = r(');   '  : Chuyển thành
phương trình theo tham số ';
x = r(') cos'; y = r(') sin':
Ta có
x0(') = r0(') cos' r(') sin';
x0(') = r0(') sin'+ r(') cos':
Do đó,
[x0(')]2 + [y0(')]2 = [r(')]2 + [r0(')]2:
Khi ấy, công thức 3.27 trở thành
l =
Z 
p
[r(')]2 + [r0(')]2d': (3.28)
Ví dụ 3.55. Tính độ dài của cung r = a cos'; 0  '  
2
:
Giải. Gọi l là độ dài cung. Áp dụng công thức 3.28 ta có
l =
Z 
2
0
p
(a cos')2 + (a sin')2d' =
Z 
2
0
ad' =
a
2
:
Vậy l =
a
2
. 
Trang 110
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
BÀI TẬP
Tích phân bất định
Bài tập 3.1. Dùng phương pháp đổi biến tính các tích phân sau đây:
1:
Z
xdx
4 + x2
2:
Z
xdxp
1 x4 3:
Z
34xdx
4:
Z
dx
x ln2 x
5:
Z
sinxdxp
4 + cos2 x
6:
Z
3x2dxp
x6 + 1
7:
Z
dx
4x2 + 7
8:
Z
xdx
4x2 + 7
9:
Z
exdxp
e2x  1
10:
Z
dx
2x + 1
11:
Z
dx
sin x cos x
12:
Z
dx
x+
p
x
:
Bài tập 3.2. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân
sau đây:
1:
Z
x cosxdx 2:
Z
x3 lnxdx 3:
Z
arctanxdx
4:
Z
x2 arctanxdx 5:
Z
xexdx
(x+ 1)2
6:
Z
(x2 + 1)e2xdx
7:
Z
e2x cos 3xdx 8:
Z
xearctanxdxp
(1 + x2)3
9:
Z
xearcsinxdxp
1 x2
10:
Z
x(arctanx)2dx 11:
Z p
1 x2
x3
dx 12:
Z
sin(lnx)dx:
Bài tập 3.3. Tính các tích phân hàm hữu tỷ sau đây:
1:
Z
dx
(x+ 1)(x2 + 1)
2:
Z
dx
x(x+ 1)(x2 + x+ 1)
3:
Z
dx
x(x 1)2
4:
Z
xdx
x2  5x+ 4 5:
Z
x+ 2
(x2 + 2x+ 3)2
dx 6:
Z
1 x4
1 + x4
dx
7:
Z
x 1
x2 + x+ 1
dx 8:
Z
x2 + 2
4x5 + 4x3 + x
dx 9:
Z
x4dx
x4 + 5x2 + 4
:
Bài tập 3.4. Tính các tích phân hàm lượng giác sau đây:
1:
Z
sin3 xdx
cos8 x
2:
Z
cos2 xdx
sin2 x+ 4 sin x cos x
3:
Z
sin3 x cos5 xdx
4:
Z
dx
sin3 x cos5 x
5:
Z
dx
cos x 2 sin x+ 3 6:
Z
dx
sin4 x cos2 x
7:
Z
sinxdx
1 + sinx
8:
Z
dx
3 cos x+ 5 sinx+ 3
9:
Z
dx
sin2 x+ 3 sinx 4
Trang 111
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
10:
Z
dx
3 cos x+ 2
11:
Z
dx
4 sin2 x 9 cos2 x 12:
Z
sin 2xdx
1 + 4 cos2 x
:
Bài tập 3.5. Tính các tích phân hàm vô tỷ sau đây:
1:
Z
x+ 1p
x2 + x+ 1
dx 2:
Z r
1 x
x3
dx 3:
Z
dx
(x 1)p3 + 2x x2
4:
Z
1 + 4
p
x
1 +
p
x
dx 5:
Z r
1 x
1 + x
dx
x
6:
Z
x 3
p
x+ 2
x+ 3
p
x+ 2
dx
7:
Z
x3dx
1 + 3
p
x4 + 1
8:
Z
dx
(1 + 4
p
x)3
p
x
9:
Z
dx
x(1 + 2
p
x+ 3
p
x)
10:
Z
xdx
(1 x)p1 x2 11:
Z p
(x2  1)3dx 12:
Z
dx
x
p
x2 + x+ 1
:
Tích phân xác định
Bài tập 3.6. Tính các tích phân sau đây:
1:
Z 
2
0
dx
2 + cos x
2:
Z 1
0
p
exdxp
ex + ex
3:
Z 1
1
xdxp
5 4x
4:
Z ln 2
0
p
ex  1dx 5:
Z 1
1
1 + x2
1 + x4
dx 6:
Z p3
1
p
1 + x2
x2
dx
7:
Z 0
 ln 2
ex
p
1 e2xdx 8:
Z p31
1
dx
x2 + 2x+ 2
9:
Z 1
0
arcsin xdxp
1 + x
10:
Z e
1
ln2 xdx 11:
Z 1
0
x2
p
1 x2dx 12:
Z p3
0
x arctanxdx
13:
Z 1
1
2
arcsinxdx
x2
14:
Z e
1
x2 ln2 xdx 15:
Z 
2

2
x2 cosxdx
Bài tập 3.7. Cho hàm số
f(x) =

x2; 0  x  1
2 x; 1 < x  2 :
Tính
Z 2
0
f(x)dx:
Bài tập 3.8. Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thì:Z 
2
0
f(sinx)dx =
Z 
2
0
f(cosx)dx và
Z 
0
xf(sinx)dx =

2
Z 
0
f(sinx)dx:
Áp dụng tính hai tích phân sau:
1:
Z 
0
x sinx
1 + cos2 x
dx 2:
Z 
0
x sin3 x
1 + cos2 x
dx
Trang 112
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Bài tập 3.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1: y =
Z x2
0
p
1 + t2dt 2: y =
Z x3
x2
dtp
1 + t4
3: y =
Z cosx
sinx
cos(t2)dt:
Bài tập 3.10. Tính các giới hạn sau
1: lim
x!0+
R sinx
0
p
tan tdtR tanx
0
p
sin tdt
2: lim
x!0
R x
0
cos tdt
x
3: lim
x!+1
R x
0
et
2
dtR x
0
e2t2dt
:
Tích phân suy rộng
Bài tập 3.11. Tính các tích phân suy rộng sau:
1:
Z +1
2
dx
x2 + x 2 2:
Z 0
1
xexdx 3:
Z +1
1
dx
(1 + x2)2
4:
Z +1
0
arctanxdx
(1 + x2)
3
2
5:
Z +1
0
ex cosxdx 6:
Z +1
e
dx
x ln3 x
dx
7:
Z +1
1
dx
x
p
1 + x5 + x10
8:
Z +1
0
e
p
xdx 9:
Z +1
0
dx
1 + x3
:
Bài tập 3.12. Tính các tích phân suy rộng sau:
1:
Z 2
1
x 2p
x 1dx 2:
Z 1
0
lnxdx 3:
Z 1
0
dx
(2 x)p1 x
4:
Z 2
0
p
x+ 2p
2 xdx 5:
Z 3
3
x2dxp
9 x2 6
?:
Z 
2
0
ln(sinx)dx
7:
Z 1
0
arcsinx
x
dx 8:
Z e
1
dx
x
p
lnx
9:
Z 3
1
dxp
3 + 4x x2 :
Bài tập 3.13. Xét tính hội tụ của các tích phân sau:
1:
Z +1
0
x 2
x2  2x+ 3dx 2:
Z +1
1
ex
3
dx 3:
Z +1
0
xdx
x3 + 2x+ 1
4:
Z +1
1

1 cos 1
x

dx 5:
Z +1
1
cos 2xdx
x
6:
Z +1
1
1 4 sin 3x
x3 + 3
p
x
dx
7:
Z +1
1
3 + arcsin 1
x
1 + x
p
x
dx 8:
Z +1
0
sin(x2)dx 9:
Z +1
0
p
x sin2 x+ 1
x+ 1
dx:
Bài tập 3.14. Xét tính hội tụ của các tích phân sau:
1:
Z 2
0
x5dxp
4 x2 2:
Z 1
0
x2dx
3
p
(1 x2)5dx 3:
Z 1
0
p
xdx
esinx  1dx
Trang 113
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
4:
Z 1
0
lnx
1 x2dx 5:
Z 1
0
dx
ex  cosxdx 6:
Z 1
0
dxp
x x2
7:
Z 1
0
sin 2xp
1 x2dx 8:
Z 1
0
dx
tanx x 9:
Z 1
0
dx
e
3
p
x  1dx:
Bài tập 3.15. Cho biết
Z +1
0
ex
2
dx =
p

2
và
Z +1
0
sin x
x
dx =

2
: Tính các
tích phân sau:
1:
Z +1
0
eax
2
dx; a > 0 2:
Z +1
0
exp
x
dx
3:
Z +1
0
sin 2x
x
dx 4:
Z +1
0
x2ex
2
dx
Ứng dụng tích phân
Bài tập 3.16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1: y = x2; x+ y = 2
2: y = x2  5; y = 3 x2
3: y = x3; y = x; y = 2x
4: y = ex sin x; y = 0; x = 0 và x = 
5: r2 = a2 cos 2'
6: r = a(1 + cos') và r = a; a > 0
7:

x = a cos3 t;
y = a sin3 t;
0  t  2:
8:

x = a(t sin t);
y = a(1 cos t); 0  t  2; và y = 0:
Bài tập 3.17. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các hình
phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục tương ứng:
1: y = x sinx; y = 0; 0  x  ; trục Ox;
2: y = x sinx; y = 0; 0  x  ; trục Oy;
3:

x = a(t sin t);
y = a(1 cos t); 0  t  2; trục Oy;
4: y = x2; y = 4; trục x = 2;
5:

x = a cos3 t;
y = a sin3 t;
0  t  2; trục x = a; a > 0;
6: y = ex
p
sin x; 0  x  ; trục Ox:
Trang 114
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Bài tập 3.18. Tính độ dài các cung phẳng:
1: y =
1
3
(3 x)px; 0  x  3;
2: y =
1
4
x2  1
2
lnx; 1  x  e;
3:

x = a cos3 t;
y = a sin3 t;
a > 0; 0  t  
2
;
4:

x = a(t sin t);
y = a(1 cos t); a > 0; 0  t  2;
5: r = a(1 + cos'); a > 0:
Trang 115
Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Trang 116