Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 0: Số phức

Chương 0 Số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.1 – Dạng đại số của số phức 
0.2 – Dạng lượng giác của số phức 
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 
0.5 – Khai căn số phức 
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 
0.3 – Dạng mũ của số phức 
0.1 Dạng đại số của số phức  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x 2 = -1 . 
 Định nghĩa số i 
 Số i , được gọi là đơn vị ảo , là một số sao cho 	 i 2 = -1 
 Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn để ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1 . 
 Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Định nghĩa số phức 
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z . 
 Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b = 0 , thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. 
 Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z) . 
Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z) . 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác không được gọi là số thuần ảo . Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo. 
Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z . 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Ví dụ 
 Cho z 1 = 2 + 3i; z 2 = m + 3i. 
 Tìm tất cả các số thực m để z 1 = z 2 . 
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. 
 Nói cách khác, hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 +ib 2 bằng nhau khi và chỉ khi a 1 = a 2 và b 1 = b 2 . 
Định nghĩa sự bằng nhau 
 Giải 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức. 
Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó 
 Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i 
 Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i 
 Ví dụ 
Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
 z = (3 + 5i) + (2 - 3i). 
Giải 
z = (3 + 5i) + (2 - 3i) 
= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Định nghĩa phép nhân hai số phức. 
Cho z 1 = a + bi và z 2 = c + di là hai số phức, khi đó 
	 z 1 .z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i 
 Ví dụ 
Tìm dạng đại số của số phức 
 	 z = (2 + 5i).(3+ 2i) 
Giải 
z = (2 + 5i)(3 + 2i) 
= 6 + 4i + 15i + 10 i 2 
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. 
= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i 
= 6 + 19i + 10(-1) 
= -4 + 19i 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Cộng, trừ, nhân hai số phức: 
	 Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. 
	Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i 2 = −1 . 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Ví dụ . 
	Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( 2 + 3i ) ( 4 - 2i ) . 
 Định nghĩa số phức liên hợp 
Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi . 
Giải . 
Vậy số phức liên hợp là 
 z = ( 2 + 3i ) ( 4 - 2i ) 
= 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i 
= 8 – 4i + 12i – 6i 2 
= 8 – 4i + 12i – 6(-1) 
= 14 + 8i. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đó: 
1. là một số thực. 
2. là một số thực. 
3. khi và chỉ khi z là một số thực. 
4. 
5. 
6. 
7. với mọi số tự nhiên n 
 Tính chất của số phức liên hợp 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
 Phép chia hai số phức. 
Muốn chia số phức z 1 cho z 2 , ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu. (Giả sử ) 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ----------------------------------------------------------------- 
Ví dụ. 
 Thực hiện phép toán 
 Giải . 
Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu là 5 + i. 
Viết ở dạng Đại số 
 Lưu ý : So sánh với số phức. 
 Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một cách khác, không thể so sánh hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 + ib 2 như trong trường số thực. Biểu thức z 1 < z 2 hoặc z 2 ≥ z 1 không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác. 
0.1 Dạng Đại số của số phức  ------------------------------------------------------------------ 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
r 
b 
a 
o 
x 
y 
trục thực 
 trục ảo 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa Môđun của số phức 
Môđun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: 
Ví dụ 
 Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i. 
Giải 
Vậy mod( z ) = |z| = 
a = 3; b = -4 . 
0.2 Dạng lượng giác của số phức  --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cho z = a + bi và w = c + di. 
Chú ý: 
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì 
là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ. 
là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d). 
0.3 Dạng mũ của số phức  -------------------------------------------------------------------------------------------------------------