Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục

1Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
G
R
-
C
H
Cho hệ thống:
Hàm truyền vòng kín:
)()(1
)()(
pHpG
pGpM
Phương trình đặc trưng (PTĐT):
F(p) = 1 + G(p).H(p) = 0
Định nghĩa hệ thống ổn định : tín hiệu ngõ ra bị chặn khi tín
hiệu ngõ vào bị chặn.
|r(t)| ≤ N < ∞ | c(t) | ≤ M < ∞
I. Khái niệm chung
2Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
+ Hệ thống ổn định khi các cực của M(p) có phần
thực âm hay nghiệm của PTĐT nằm bên trái mặt
phẳng phức (TMP)
+ Hệ thống ở biên giới ổn định khi PTĐT có ít nhất
1 nghiệm nằm trên trục ảo, tất cả các nghiệm còn
lại nằm bên trái mặt phẳng phức (TMP).
+ Hệ thống không ổn định khi PTĐT có ít nhất 1 
nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức (PMP). 
(ví dụ với Matlab)
Re
Im
Nghiệm của PTVP có dạng tổng quát: 
n
i
tp
i ietc
1
)(
Để c(t) bị chặn khi t ∞ thì pi phải có phần thực âm.
3Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Xét hệ có PTĐT như sau:
F(p) = an pn + an-1 pn-1 ++a0 = 0 (an ≠ 0).
Điều kiện cần để hệ ổn định:
+ aj phải cùng dấu với an.
+ aj ≠ 0 (không một hệ số aj nào vắng mặt trong phương
trình đặc trưng). 
1. Điều kiện cần
2. Tiêu chuẩn ổn định Routh
Điều kiện cần và đủ để các nghiệm của PTDT nằm ở TMP (hệ ổn
định) là tất cả các phần tử của cột 1 bảng Routh đều cùng dấu.
Nếu có sự đổi dấu thì số lần đổi dấu chính là số nghiệm nằm ở PMP.
4Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
.........
.........
0
1
753
3
642
2
531
1
42
p
p
cccp
bbbp
aaap
aaap
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n





Phương pháp thành lập bảng Routh:
1
321
2
n
nnnn
n a
aaaab
1
541
4
n
nnnn
n a
aaaab
2
1432
3
n
nnnn
n b
ababc
PTĐT: F(p) = an pn + an-1 pn-1 ++a0 = 0 (an ≠ 0).
Trong đó:
5Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
Các trường hợp đặc biệt:
 Nếu có phần tử ở cột 1 bằng 0 thì thay 0 bằng ε và tính
giới hạn của phần tử tiếp theo của cột 1 khi ε 0.
3
0 khi 66
 bang 0 Thay30
62
331
0
1
2
3
4
p
p
p
p
p
  

 

6Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
• Trường hợp có một dòng mà tòan bộ phần tử của nó bằng 0 thì sử
dụng các hệ số của dòng trên để lập phương trình phụ F1(p) = 0 và
lấy đạo hàm của F1(p) theo p. 
Thay dòng bằng 0 bằng các hệ số của phương trình đạo hàm

......
32040)(16040
1016010)(00
1016010
1161
2
313
24
1
3
4
5
p
pp
dp
pdFp
pppFp
p
p
 
• Trường hợp hệ thống có khâu trễ e-pT: Triển khai Taylor và lấy
gần đúng hàm e-pT bằng 2 số hạng đầu: e-pT # 1 – pT.
7Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
Dn
D3
D2
3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các định thức Hurwitz 
Dk, k= 0, , n, đều cùng dấu, trong đó : Do = an , D1 = an-1 và Dk
là định thức của ma trận con cấp k của ma trận vuông Dn.
0
2
31
42
531
00
00
00
0
0
a
aa
aa
aaa
aaa
D
nn
nn
nnn
nnn
n






PTĐT: F(p) = an pn + an-1 pn-1 ++a0 = 0 (an ≠ 0).
8Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
4. Độ dự trữ ổn định.
- Là đại lượng dương đánh giá mức độ ổn định của hệ thống.
- Nếu vượt qua lượng dự trữ đó thì hệ thống ổn định sẽ thành mất
ổn định. 
- Độ dự trữ ổn định µ chính là khỏang cách
giữa trục ảo và nghiệm của PTDT gần trục
ảo nhất.
Re (pi) ≤ - µ.
Đặt p = p’ – µ p’ = p + µ. 
Vậy nên nếu Re (p) ≤ -µ Re(p’) ≤ 0.
Thay p = p’ – µ vào phương trình đặc trưng và xét tính ổn định
của hệ thống đối với p’. Nếu hệ ổn định với p’ tức là ổn định với
độ dự trữ µ.
Re
Im
µ
9Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
Ví dụ: cho hệ thống hồi tiếp đơn vị âm như sau:
R
-
C
22)( pp
K
a. Tìm K để hệ thống ổn định.
b. Tìm K để hệ thống ổn định có độ dự trữ µ = 1/2
Ñeå xeùt oån ñònh vôùi ñoä döï tröõ , ta ñaët p’ = p +  (hay p =p’ -
).
Thay : p = p’ – ½ vaøo PTÑT ta coù:
Giải
KpppKppppF 
8
9
4
3
2
5
2
14
2
14
2
1 23
23
'''''')'(
10
Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
089620800 23 KppppFpF ''')'()(
Bảng Routh:
Điều kiện để hệ ổn định:
098
0988120
K
K
3
9
8
 K
11
Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
1. Tiêu chuẩn Nyquist.
G
R
-
C
HHàm truyền vòng hở: G(p).H(p)
Trường hợp 1: Hệ hở ổn định.
Hệ kín sẽ ổn định khi biểu đồ Nyquist (biểu đồ cực) của hệ
hở không bao hoặc đi qua điểm (-1,j0).
Trường hợp 2: Hệ hở không ổn định và có r cực ở PMP
Hệ thống kín M(p) sẽ ổn định nếu đường cong Nyquist của
hệ hở GH(p) bao điểm (-1,j0) r/2 vòng theo chiều dương
(ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 +∞
12
Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
Biểu đồ Nyquist của một số khâu đặc biệt
+ Khâu quán tính bậc nhất
 
jT
K
Tp
KsG
11
)(
+ Nhiều Khâu quán tính
Đường Nyquist xuất phát từ (K, j0) trên trục thực khi ω=0 , quay 
1 góc - /2, kết thúc tại 0 khi ω 
)1)...(1)(1(
)(
21 pTpTpT
KpG
n 
Đường Nyquist xuất phát từ (K, j0) trên trục thực khi ω=0 , kết
thúc tại 0 khi ω và sẽ đi qua n góc phần tư theo chiều kim
đồng hồ trong mặt phẳng phức.
13
Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
+ Hàm truyền với khâu tích phân: 
)1)...(1)(1(
)(
21 pTpTpTp
KpG
n
m 
Nếu hàm truyền có m khâu tích phân thì điểm xuất phát của biểu
đồ Nyquist sẽ xuất phát từ vô cực và điểm xuất phát này tạo với
trục thực 1 góc là -mπ/2. 
Điểm cắt của đường Nyquist với trục thực:
Giải phương trình : Im(GH(jω)) = 0 tìm được ω
Thay ω vào và tính Re (GH(jω)) : giao điểm của đường
Nyquist với trục thực.
14
Chương 3. Khảo sát ổn định hệ tuyến tính liên tục .
Điều khiển tự động
2. Giản đồ Bode.
Tần số cắt biên ωc : tần số mà biên độ của đặc tính tần số bằng 1
| G(jωc) | = 1 ha