Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học

1Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
I. Hàm truyền và đáp ứng
1. Hàm Truyền
)()(...)()( 01
1
1 tcadt
tdca
dt
tcda
dt
tcda
n
n
n
n 
)()(...)()( 01
1
1 trbdt
tdrb
dt
trdb
dt
trdb
m
m
m
m 
Biến đổi Laplace:
 )(... 0111 pCapapapa nnnn 
 )(... 0111 pRbpbpbpb mmmm 
Hàm truyền đạt:
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
apapapa
bpbpbpb
pR
pCpM n
n
n
n
m
m
m
m
2Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
Khi biết được hàm truyền đạt có thể xác định đáp ứng c(t) đối với
kích thích r(t) bằng cách lấy Laplace ngược
  )().()()( 11 pMpRLpCLtc 
Ví dụ:
C
L
R
Ui
Uo
Tìm haøm truyeàn ñaït cuûa maïch ñieän sau
CppZ
U
Cp
IU i 1
)(
1
0 
Cp
LpRpZ 1)( 
)( pZ
UI i 
CppZU
UpG
i )(
1)( 0 
2. Đáp ứng
+ Đáp ứng xung: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu xung
  
00
0
)()(
tkhi
tkhi
ttr
3Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
+ Đáp ứng bước: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu bước
00
01
)(1)(
tkhi
tkhi
ttr
 



 )(1)()( 11 pM
p
LpCLtcs
Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) = 1/p.
Đáp ứng bước :
Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) = 1.
Đáp ứng xung :  )()()( 11 pMLpCLtci 
  )(1 pF
p
fdtL Áp dụng tính chất của biến đổiLaplace:
Ta có dttctchaydt
tdctc issi )()(
)()(
4Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
II.Sơ đồ khối và Graph tín hiệu.
1. Sơ đồ khối.
Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống kín có hồi tiếp:
G(p)
C(p)R(p)
H(p)
-+
E(p)
B(p)
Hàm truyền đường thuận
Hàm truyền vòng kín
Hàm truyền vòng hở
)(
)(
)( pG
pE
pC
)()(1
)(
)(
)(
pHpG
pG
pR
pC
)()(
)(
)( pHpG
pB
pE
5Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
Các phép biến đổi khối cơ bản:
+ Phép giao hóan các khối nối tiếp
G1 Gn Gn G1
G(p)=G1(p).G2(p).Gn(p)
+ Phép giao hóan các khối song song
G1
Gn
Gn
G1
G(p)=G1(p) + G2(p) + + Gn(p)
6Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
+ Phép chuyển khối đằng sau ra đằng trước tổng
G
R2
R1
C
G
G
R2
R1
C
C(p) = G(p). (R1(p) R2(p))
+ Phép chuyển tín hiệu từ trước ra sau
G
R1
R1 C
C
1/G
G
R1
R1
7Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
+ Đổi hệ có hồi tiếp H thành hồi tiếp đơn vị
G
R
C
H
G
R
C
H1/H
)()(1
)()(
pHpG
pGpC

+ Hồi tiếp một vùng
G
R
C
H
)()(1
)()(
pHpG
pGpC

R C
8Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
Ví dụ: tìm hàm truyền: 
G2
R
+
C
G3
G1
G4-
-+ +
+
GA : G3 và G4 mắc song song
GC : Vòng hồi tiếp G2 với GA
GB : G1 mắc song song đường truyền đơn vị
Hàm truyền tổng quát : GB nối tiếp với GC
9Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
2. Graph tín hiệu.
+ Nút nguồn : Nút chỉ có nhánh đi ra
+ Nút đích : Nút chỉ có nhánh đi vào
+ Đường thuận : Đường đi từ nút nguồn đến nút đích mà không đi
qua nút nào quá 1 lần
+ Vòng kín : Đường bắt đầu và kết thúc tại một nút mà trên đó
không gặp nút nào quá một lần.
+ Truyền đạt đường : tích cách truyền đạt nhánh dọc theo đuờng.
Các qui tắc biến đổi Graph cũng tương tự như biến đổi sơ đồ
khối gồm các nhánh mắc nối tiếp, song song, hồi tiếp
Ví dụ:
G1
G2
G3
x1 x2 x3 x1 x3
2
31
1 G
GG
10
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
+ Công thức Mason

k
kkM
R
CM
Mk : truyền đạt của đường thuận thứ k
 = 1 - Pm1 + Pm2 - Pm3 ++ (-1)i Pmi
Pm1 : truyền đạt các vòng kín có trong Graph
Pmr (r ≥ 2) : tích các truyền đạt của r vòng kín không dính nhau.
 k : Được suy ra từ bằng cách cho bằng 0 những vòng kín
có dính đến đường thuận thứ k
11
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
Ví dụ: Tìm hàm truyền của hệ thống
12
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
Caùc ñöôøng truyeàn thuaän:
M1 = G1G2G3
M2 = G1G4
Coù 5 voøng kín:
L1 = -G1G2G3
L2 = , L3, L4, L5
Pm1 = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 =
Bài tập 1: Câu hỏi tuần trước và bài 2.12, 2.13 Trang 13 sách BT
13
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
3. Biểu diễn hàm truyền.
a. Vị trí cực và zero


i
i
l
l
pp
zp
K
pA
pBpG
)(
)(
)(
)()(
zl : nghiệm của B(p) = 0: gọi là zero của hàm truyền
pi : nghiệm của A(p) = 0: gọi là cực của hàm truyền
Trên mặt phẳng phức ta định vị zero bằng dấu tròn (o) 
và cực là dấu chéo (x).
Biên độ của hàm truyền


 
 
i
i
l
l
pj
zj
KpG )(
Góc pha của hàm truyền
Arg (G(jω)) = Arg (K) +  Arg ( jω – zl) -  Arg ( jω – pi)
14
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
b. Biểu đồ cực
Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm truyền G(jω) theo tần số ω đi
từ 0 đến trong mặt phẳng phức.
G(p) = G(jω) = P(ω) + j Q(ω) = A(ω) . e jφ(ω)
22 )()()()(     QPjGA


   
)(
)())(()(
P
QarctgjGArg
)10)(1(
10)(
pp
pG
Ví dụ: Vẽ biểu đồ cực
15
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
c. Giản đồ Bode
Đồ thị logarit biên độ và đồ thị pha của hàm truyền theo logarit
tần số
+ Biên độ : | G(jω) |dB = 20 lg | G(jω) |
+ Pha : φ = Arg ( G(jω) )
Các bước vẽ giản đồ Bode
Bước 1: xác định tần số gãy và sắp xếp theo thứ tự tăng dần
Tần số gãy : tần số mà tại đó đồ thị logarit biên độ thay đổi đặc
tính của nó.
Cho : 
 

 n
i
i
m
l
l
dp
cp
KpG
1
1 thì : ω = cl và ω = di
là tần số gãy
16
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động
Bước 2: Xác định | G(jω) |dB tại ω = 0 (nếu G(p) không có cực tại 0),
hoặc : xác định đường tiệm cận của | G(jω) |dB khi ω 0 (nếu G(p) 
có cực tại 0)
Bước 3: Nếu G(p) không có cực tại 0, Giản đồ Bode biên độ sẽ là
đường nằm ngang có độ lớn : | G(jω) |dB cho đến tần số gãy nhỏ nhất.
Nếu G(p) có r cực (zero) tại 0, giản đồ Bode sẽ là đường tiệm
cận có độ dốc –r (+r) cho đến tần số gãy nhỏ nhất.
Độ dốc r chính là độ tăng (hay giảm) r.20 dB/dec của
giản đồ bode biên độ.
Bước 4: Nếu tại tần số gãy là khâu tích phân (1/(p +a)) thì độ dốc
của giản đồ Bode biên độ giảm đi 1 (-20 dB/dec)
Nếu tại tần số gãy là khâu vi phân (p +a) thì độ dốc của giản đồ
Bode biên độ tăng lên 1 (+20 dB/dec)
Giản đồ bode được vẽ từ trái sang phải cho đến khi hết các điểm gãy
17
Chương 2. Mô tả tóan học.
Điều khiển tự động