Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 2: Nhiễu loạn

PhD. D.H.Đẩu 
1 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO 
Chương hai: NHIỄU LOẠN 
PhD. D.H.Đẩu 
2 
1. NHIỄU LOẠN DỪNG KHÔNG SUY BiẾN 
2. NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 
NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 
ỨNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ -QUANG PHỔ 
Chương hai: NHIỄU LOẠN 
PhD. D.H.Đẩu 
3 
Lecturer: 
Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com 
Tel: 84.71. 832061 
01277 270 899 
Địa chỉ gửi bài tập nhóm 
Không có nhóm bài tập giống hệt nhau 
EP 
PhD. D.H.Đẩu 
4 
Nhiễu loạn không suy biến 
Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần đúng phương trình schrodinger khi toán tử Hamilton có dạng phức tạp hay bài toán hàm sóng nhiều chiều 
PhD. D.H.Đẩu 
5 
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 
Là phương trình xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng: 
Nghiệm chính xác của phương trình chỉ tìm ra 
khi toán tử thế năng có dạng đơn giản. 
Với bài toán thực tế, thế năng có dạng phức tạp, ta dùng phương pháp gần đúng: tính nghiệm bằng giải tích số (việc tính toán nhanh nhờ máy tính hỗ trợ) 
PhD. D.H.Đẩu 
6 
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN 
Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là cách làm đơn giản toán tử thế năng (gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải gần đúng PT Schrodinger tìm mức năng lượng và hàm sóng. 
Xem toán tử thế năng là một gia số nhỏ của toán tử năng lượng: 
Chân dung Schrodinger 
Toán tử nhiễu loạn H’ xem là một biến thiên nhỏ của toán tử năng lượng không nhiễu loạn H 0 
PhD. D.H.Đẩu 
7 
1.1- Phương pháp nhiễu loạnkhông suy biến 
Điều kiện áp dụng: nghiệm của phương trình Schrodinger không nhiễu loạn đã được xác định: 
Ký hiệu (0) không phải là lũy thừa, nhưng có một số sách vẫn ghi giống lũy thừa 0. Đây là chỉ bậc nhiễu loạn, khi bậc bằng không tức là không có nhiễu loạn 
PhD. D.H.Đẩu 
8 
1.1- Phương pháp nhiễu loạnkhông suy biến 
E n 0 là các trị riêng ứng với các hàm riêng của toán tử 
Hamilton không nhiễu loạn, không suy biến vấn đề là tìm nghiệm (2.1) Các trạng thái và mức năng lượng gần đúng cho: 
Phương trình 2.4 là tính năng lượng và hàm sóng trong trường hợp chính xác có xét đến nhiễu loạn 
PhD. D.H.Đẩu 
9 
Nhiễu loạn dừng 
Dừng: là không phụ thuộc thời gian tức là trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng là không đổi, toán tử thế là không phụ thuộc thời gian 
STOP 
PhD. D.H.Đẩu 
10 
Nhiễu loạn dừng và không suy biến 
Khi nói các trị riêng của toán tử H là không suy biến tức là một mức năng lượng ứng với 1 trạng thái. 
Bắt đầu, ta xem toán tử Hamilton gần đúng gồm 2 thành phần: 
Ở đây, chọn  có giá trị nhỏ sau đó ta sẽ tăng dần giá trị của nó đến 1,0 Khi đó toán tử Hamilton sẽ đạt giá trị chính xác (2.4). 
Khai triển các hàm sóng  n và năng lượng E n thành dạng các chuỗi lũy thừa của  ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
11 
Khai triển lũy thừa 
Khi đó E n (1) được gọi là số hiệu chỉnh bậc nhất đối với trị riêng năng lượng thứ n 
 n (1) được gọi là hàm hiệu chỉnh bậc nhất đối với hàm sóng riêng thứ n 
Tương tự E n (2) được và  n (2) được gọi là số hiệu chỉnh bậc hai cho năng lượng và hàm sóng 
Đưa 2.7,2.6, 2. 5 vào 2.4, ta có 2.8: 
PhD. D.H.Đẩu 
12 
Bậc của nhiễu loạn 
Nhân ra và gom nhóm theo lũy thừa của  ta có: 
Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn) 
Trong 2.9 cho thành phần  0 =1 ta quay lại PT: 
PhD. D.H.Đẩu 
13 
Xét nhiễu loạn bậc nhất và bậc 2 
Từ phương trình 2 .9 cho thành phần  1 
Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất: 
Từ phương trình 2 .9 cho thành phần  2 
Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai: 
Và tương tự cho thành phần  K ta có nhiễu loạn bậc K 
PhD. D.H.Đẩu 
14 
Bài tập 1 w 
Xét nhiễu loạn bậc nhất (PT 2.10) 
Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc nhất E n (1) 
PhD. D.H.Đẩu 
15 
Hướng dẫn  (thay ký hiệu giống lũy thừa) 
Lấy tích trong  n 0 với PT 2.10 (thực ra là nhân (  n 0 )* sau đó lấy tích phân) ta có: 
Bên vế trái của 2.12 ta sử dụng H o là Hermitian 
So sánh 2.12 và 2.13 ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
16 
Kết luận về nhiễu loạn bậc nhất 
Số hiệu chỉnh về năng lượng mức n trong nhiễu loạn bậc nhất (1) chính là giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng không bị nhiễu loạn thứ n (số phía trên là chỉ bậc của nhiễu loạn) 
PhD. D.H.Đẩu 
17 
Bài tập 2w 
Bài toán hạt tự do trong hố thế vuông có cạnh là a ( 0 x a) với nghiệm là: 
Xét trường hợp có nhiễu loạn là một thế V (có giá trị bé) như hình 
a 
a/2 
V 
Tính số hiệu chỉnh năng lượng 
Bậc nhất và cho biết các giá trị năng lượng có nhiễu loạn bậc nhất ở các mức 1,2,3. Chứng minh năng lượng chỉ dời lên một giá trị như nhau 
PhD. D.H.Đẩu 
18 
Hướng dẫn 
Mức năng lượng chính xác 
thứ 1 (nhiễu loạn bậc nhất): 
Sử dụng công thức 2.14 để xác định E n 1 : 
Mức năng lượng chính xác 
thứ 2: 
Mức năng lượng chính xác 
thứ 3: 
PhD. D.H.Đẩu 
19 
Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất 
Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 và chuyển vế các hàm: 
Khai triển hàm  n 1 ở vế trái thành tổ hợp tuyến tính các hàm ở trạng thái không nhiễu loạn: (1) chỉ bậc nhất 
Không cần chọn m=n, Cho biết lý do 
PhD. D.H.Đẩu 
20 
Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêngcủa nhiễu loạn bậc nhất 
Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16 lấy tích trong  k 0 
Từ đó tính hàm riêng: 
Lấy tích trong 2.18 với  k 0 với c (1) là hệ số KT bậc 1 
m chạy đến k thì dừng lại 
PhD. D.H.Đẩu 
21 
Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất 
Từ PT 2.19 vế trái cho m=K nhưng K khác n (nếu không 
sẽ về 0 nhiễu loạn) số hạng cuối bên phải nhận trị không: 
Từ đó tính được C Kn (1) 
Thay vào biểu thức hàm sóng 2.17: 
PhD. D.H.Đẩu 
22 
Phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn bậc 1 
Ma trận phòng máy tính toán SV 
PhD. D.H.Đẩu 
23 
 Ma trận chứa các phần tử nhiễu loạn bậc nhất 
Phần tử ma trận của toán tử H’ tổng quát được viết lại là: 
Tập hợp các phần tử H’ mk tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận của toán tử nhiễu loạn bậc nhất 
(các thành phần đường chéo là hiệu chỉnh năng lượng): 
PhD. D.H.Đẩu 
24 
Bài tập 4: Bài toán dao động tử (DĐT) 1D 
Giải bài toán DĐT 1D ta có kết quả là hàm sóng: 
Vấn đề là thế năng bị nhiễu loạn : 
V(x) = 0.5 kx 2 Với k =(1+ )K o  ...  bậc nhất 
PhD. D.H.Đẩu 
28 
Hint 
PhD. D.H.Đẩu 
29 
Tính năng lượng chính xác 
Mức năng lương chính xác 
thứ 0 (nhiễu loạn bậc nhất): 
Mức năng lương chính xác 
thứ 1: 
PhD. D.H.Đẩu 
30 
Hàm sóng chính xác 
PhD. D.H.Đẩu 
31 
Kết quả lưu ý 
PhD. D.H.Đẩu 
32 
Xét tiếp nhiễu loạn bậc 2 
Từ phương trình 2 .9 cho thành phần  2 
Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai: 
Mục đích của bài toán là tính mức năng lượng bổ chính là E n 2 và hàm sóng bổ chính  n 2 
Phương pháp tương tự như nhiễu loạn bậc nhất ta xem là bài tập 
PhD. D.H.Đẩu 
33 
Bài tập 5 w 
Xét nhiễu loạn bậc hai PT 2.11 
Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc hai E n 2 
Hướng dẫn: Tích chập  n 2 với 2.11 
Sau đó chuyển vế rút gọn: 
PhD. D.H.Đẩu 
34 
Hướng dẫn 
Lấy tích trong  n 0 với PT 2.11 (thực ra là nhân (  n 0 )* sau đó lấy tích phân) ta có: 
Khai triển  n 1 thành tổ hợp các  n 0 ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
35 
Kết quả năng lượng bổ chính 
Khai triển  n 1 thành tổ hợp các  n 0 ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
36 
Bài tập 6w 
Giải lại bài toán dao động tử điều hòa 1D (bài tập 4) trong trường hợp nhiễu loạn bậc hai để tính chính xác mức năng lượng E 0 : 
E 0 = E 0 0 +  E 0 1 +  2 E 0 2 
PhD. D.H.Đẩu 
37 
Hint (hàm sóng cơ sở chỉ có 2) 
Năng lượng bổ chính cho mức cơ bản E 0 : 
PhD. D.H.Đẩu 
38 
Bài tập 7 
Xét dao động tử điều hòa của một hạt mang điện có điện tích là q chịu tác dụng nhiễu loạn của điện trường E có thế nhiễu loạn là: 
	H’=-qEx 
Chỉ ra là ở nhiễu loạn bậc nhất thì các mức năng lượng không có thay đổi. Tính sự thay đổi năng lượng do nhiễu loạn bậc hai. 
CM: PT Schrodinger có thể giải chính xác bằng cách đổi biến: x’=x-(qE/m  2 ). Tính các giá trị năng lượng chính xác 
PhD. D.H.Đẩu 
39 
Lý thuyết nhiễu loạn có suy biến 
Xét suy biến với 2 trạng thái ứng với mỗi mức năng lượng E 0 trong trường hợp không xét nhiễu loạn: 
Có thể xác định một tổ hợp tuyến tính của 2 hàm sóng này, đó cũng là nghiệm riêng của H 0 : 
Vấn đề là làm sao xác định được trạng thái tạo bởi tổ hợp tuyến tính trên (xác định ,  ) . Khi có tổ hợp ta có thêm trạng thái mới phá 2 mức suy biến nhiều mức suy biến 
PhD. D.H.Đẩu 
40 
Vấn đề cần giải quyết 
Cần giải chính xác bài toán schrodinger có dạng: 
Đưa (2.29 và 2.30) vào PT schrodinger chính xác: 
Vì số hạng đầu vế trái và vế phải bằng nhau (bỏ qua) Nếu xét nhiễu loạn bậc nhất: 
PhD. D.H.Đẩu 
41 
Nhiễu loạn suy biến hai cấp 
Lấy tích trong  A 0 với 2 vế 3.32 
Vì H là Hermitian nên tác dụng lên  A 0 cho ra E 0 
PhD. D.H.Đẩu 
42 
Tương tự nhân  B 0 
Viết lại 2.34 và 2.35 theo thành phần matrix H’ của hai hàm suy biến ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
43 
Gỉai tường minh 
Nhân 2.35 cho H’ AB ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
44 
Bài tập 8w: Giải phương trình tính E 1 
Chứng minh với khác không ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
45 
Hướng dẫn 
Từ PT 2.36 ta suy ra PT: 
Và lưu ý: 
PhD. D.H.Đẩu 
46 
Kết luận 
Hai nghiệm của PT 2.38 là 2 giá trị bổ chính của cùng một mức năng lượng E 0 
Nó tạo thành 2 mức năng lượng nhiễu loạn có suy biến. 
Nếu băng không khi đó =1 
 PT 2.34 là: 
PhD. D.H.Đẩu 
47 
Bài tập 9W 
Tính lại giá trị bổ túc năng lượng nếu  băng không khi đó =1 
PhD. D.H.Đẩu 
48 
Bài tập 10W 
Giả sử hai trạng thái nhiễu loạn được mô tả bởi hai hàm là: 
Nhận các giá trị từ 0 đến 1.0 theo PT : 
Chứng minh là: 
PhD. D.H.Đẩu 
49 
Xem lại các hàm trong hố thế vuông2D có suy biến năng lượng 
Bài toán hạt tự do trong hố thế vuông có cạnh là a ( 0 x, y a) với nghiệm là: 
Xét năng lượng E có hai suy biến: 
Tính các mức năng lượng riêng bị suy biến? 
PhD. D.H.Đẩu 
50 
1. NHIỄU LOẠN DỪNG KHÔNG SUY BiẾN 
2. NHIỄU LOẠN DỪNG CÓ SUY BiẾN 
NHIỄU LOẠN SUY BiẾN BẬC CAO 
ƯNG DỤNG CẤU TRÚC TINH TẾ -QUANG PHỔ 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO 
Chương hai : NHIỄU LOẠN 
PhD. D.H.Đẩu 
51 
Lecturer: 
Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com 
Tel: 84.71. 832061 
01277 270 899 
Địa chỉ gửi bài tập nhóm 
Đánh máy càng dễ sửa và trao đổi 
EP 
PhD. D.H.Đẩu 
52 
Ôn lạiNhiễu loạn có suy biến 2 cấp 
Nhiễu loạn suy biến 2 mức có 2 bổ chính năng lượng 
PhD. D.H.Đẩu 
53 
Xác định các hệ số  
Sử dụng phương trình vector (Đại số tuyến tính) 
PhD. D.H.Đẩu 
54 
Bài tập 11 
Xét bài toán hạt m trong hố thế vuông độ rộng a. Thế nhiễu loạn có dạng: 
U= V 0 exp(-x 2 /a 2 ) với -(a/2)< x < (a/2) 
Giả sử mức năng lượng thứ nhất bị suy biến 2 cấp. Tính bổ chính năng lượng ở mức 1 dùng công thức 2.38 
Lưu ý H’ chỉ có trị khác zero 
nếu –a<x<+a 
PhD. D.H.Đẩu 
55 
Hướng dẫn 
Dùng nghiệm của hạt trong hố thế có dạng cơ bản là 
PhD. D.H.Đẩu 
56 
Bài tập 12: Công thức tổng quát nhiễu loạn có suy biến bậc 2 
Phương trình tính hai giá trị tuyến tính: 
Ý nghĩa: E 1 là trị riêng của matrix MXH’ ứng với hai vector riêng là ,  
PhD. D.H.Đẩu 
57 
Mở rộng 
Viết phương trình 2.44 với nhiễu loạn có bậc là n >2 (thí dụ n=3) 
Thảo luận và câu hỏi ôn tập 
PhD. D.H.Đẩu 
58 
Hint 
PhD. D.H.Đẩu 
59 
Bài tập 
Xét bài toán hạt trong hố thế vuông 3D cạnh là a và xét toán tử nhiễu loạn 
H’= 0.1 V 0 trong khoảng (0, a/4) 
Tính mức năng lượng E=6.E 1 
(E 1 năng lượng của BT 1D) 
Tính các thành phần của toán tử nhiễu loạn? 
PhD. D.H.Đẩu 
60 
Nhiễu loạn suy biến bậc cao 
Phương pháp là giải bài toán tìm trị riêng của matrix vuông có nn thành phần ứng với n vector riêng (dùng máy tính) các vector riêng ( , , ,  ) là cơ sở để tạo tổ hợp tuyến tính của n các hàm suy biến 
PhD. D.H.Đẩu 
61 
Ví dụ: electron ở hố thế vuông 3D 
Mạng tinh thể có độ dài theo các phương như nhau là a: 
a 
a 
a 
PhD. D.H.Đẩu 
62 
Hàm sóng và năng lượng của electron ở hố thế vuông 3D 
Nghiệm của hàm sóng ở trạng thái dừng có dạng đơn giản là tích của các hàm 1D . 
PhD. D.H.Đẩu 
63 
SỰ SUY BiẾN 
Mức năng lượng kích thích thứ nhất có suy biến bậc 3 
Thực tế: MỨC NĂNG LƯƠNG cơ bản không bị suy biến vì chỉ có một giá trị như nhau: 
n x = n y =n z =1 
Có 3 hàm sóng khác nhau ứng mức năng lượng trên: 
PhD. D.H.Đẩu 
64 
Khảo sát sự nhiễu loạn 
Xét toán tử nhiễu loạn được xác định: 
Sự hiệu chỉnh năng lượng ở mức E 1 0 là được xác định từ bài toán nhiễu loạn không suy biến : 
PhD. D.H.Đẩu 
65 
Bài tập 13W 
Chứng minh bài toán hố thế vuông 3D thỏa biểu thức 3.49: 
PhD. D.H.Đẩu 
66 
Nhiễu loạn có suy biến bậc 3 
Ở đây, mức năng lượng kích thích thứ nhất có 3 trạng thái suy biến Tính các thành phần ma trận H’ . 
Trước hết lưu ý: 
Cần tính các thành phần không trên đường chéo 
Dễ dàng nhận thấy các thành phần H’ AB =H’ AC =0 
PhD. D.H.Đẩu 
67 
Bài tập 14W 
Tính tường minh các thành phần matrix của H’ 
Và chứng minh là: 
 C ần giải tìm các vector riêng của matrix H’ 
PhD. D.H.Đẩu 
68 
Giải tìm các trị riêng 
Từ PT định thức giải tìm trị riêng 1.32 thay  cho  ta có: 
Khai triển định thức: 
Từ đó ta có: 
Các nghiệm riêng là: 
PhD. D.H.Đẩu 
69 
Bài tập 15W 
Tính chính xác 3 mức năng lượng kích thích thứ nhất sau khi xét sự tác động nhiễu loạn 
So sánh kết quả với kết quả bài toán nhiễu loạn bậc nhất không suy biến 
Như vậy sự nhiễu loạn làm dịch chuyển từ một mức năng lượng thành 3 mức năng lượng khác nhau 
PhD. D.H.Đẩu 
70 
Bài tập 16 w 
Xác định một tổ hợp tuyến tính chuẩn của các hàm suy biến trong mức năng lượng kích thích thứ nhất từ bài toán 15 
PhD. D.H.Đẩu 
71 
Kết quả 
Với  =1 ta có: =1,  =  = 0; 
Với  =1 K ta có: =0,  =  = 1/2 (0.5) ; 
Như vậy, các tổ hợp nghiệm là: 
PhD. D.H.Đẩu 
72 
Bài tập 17 
Xét hệ lượng tử với 3 trạng thái mô tả bởi các hàm tuyến tính độc lập. Toán tử Hamiltion có dạng matrix như sau: 
PhD. D.H.Đẩu 
73 
Bài tập 17 
a) Xét trường hợp không nhiễu loạn (  =0), xác định trị riêng và các vector riêng của toán tử H 
b) Giải chính xác trị riêng của H (  =0.005) khai triển các trị riêng theo chuỗi lũy thừa của  (lấy đến bậc 2) 
c) Dùng LT nhiễu loạn không suy biến bậc nhất và bậc 2 để tìm trị riêng gần đúng cho trạng thái kích thích thứ nhất 
d) LT Có suy biến tìm hiệu chỉnh bậc nhất cho 2 trị riêng suy biến 
PhD. D.H.Đẩu 
74 
4. Ứng dụng: LT nhiễu loạn để phân tích cấu trúc tinh tế của quang phổ 
Khảo sát lại nguyên tử Hydrogen: ta có toán tử Hamilton: 
Cấu trúc tinh tế của quang phổ Hydrogen không phải do những hiệu chỉnh năng lượng khối lượng electron và nhân mà nó xuất phát từ 2 cơ chế khác nhau: 
1- Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối 
2- Hiệu chỉnh năng lượng Spin quỹ đạo 
PhD. D.H.Đẩu 
75 
Các mức năng lượng 
So sánh với các mức năng lượng Borh (liên quan bán kính 
Borh a) thì cấu trúc tinh tế là khảo sát bài toán nhiễu loạn nhỏ so = 2 với: được gọi là hằng số cấu trúc tinh tế: 
Một dịch chuyển năng lượng có hằng số 4 nhỏ hơn hằng số 2 là dịch chuyển Lamb liên quan đến sự lượng tử của trường Coublom. 
Hằng số bé hơn nửa của 4 là hằng số siêu cấu trúc liên quan đến sự tương tác từ giửa các momen lưỡng cực với electron và proton. 
PhD. D.H.Đẩu 
76 
Các cấp độ cấu trúc 
Bảng sau cho ta biết độ lớn các HS 
PhD. D.H.Đẩu 
77 
Năng lượng nghỉ: Hạt có khối lượng m 0 lúc đứng yên có năng lượng nghỉ:	E n = m 0 c 2 
Năng lượng tương đối tính: 
Hạt chuyển động với vận tốc gần v gần c thì E T bằng tổng năng lượng nghỉ và động năng tương đối (T T ):	 
REVIEW: Các đại lượng tương đối tính 
PhD. D.H.Đẩu 
78 
Động năng TĐT 
Khối lượng TĐT 
Xung lượng TDT: 
Biểu thức liên hệ xung lượng-năng lượng 
tương đối 	E T 2 =P T 2 c 2 + m 0 2 c 4 
PhD. D.H.Đẩu 
79 
Động năng TĐT có thể viết: 
Xung lượng TDT có thể viết: 
Năng lượng tương đối tính 
PhD. D.H.Đẩu 
80 
Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối 
Số hạng đầu 2.16 là động năng tương đối tính- không tính thế năng nhưng chưa hiệu chỉnh TDT 
Số hạng thứ hai 2.16 là năng lượng nghỉ khác với năng lượng đóng góp vào chuyển động. 
Trong công thức năng lượng số hạng đầu của Hamilton được xem là động năng (m là KL nghỉ) 
PhD. D.H.Đẩu 
81 
Bài tập 18W Hiệu chỉnh động năng tương đối tính 
Sử dụng công thức tương đối tính chứng minh: 
Chứng minh: công thức tương đối tính sẽ quay về công thức cổ điển khi mà v <<c hay p << mc 
Khai triển T theo hàm mũ (p/mc) p là TDT 
PhD. D.H.Đẩu 
82 
Hướng dẫn 
Vì : E T 2 = P T 2 c 2 + m 0 2 c 4 
PhD. D.H.Đẩu 
83 
Hiệu chỉnh theo thuyết tương đối 
Khử 1 và -1 (P là TDT) ta có: 
Theo 2.66 ta thấy số hạng đầu là động năng của Hamilton và tiếp sau là toán tử nhiễu loạn – thực chất là bậc thấp nhất của đại lượng tương đối tính cấu thành Hamilton: 
PhD. D.H.Đẩu 
84 
Hiệu chỉnh theo Thuyết tương đối của Einstein 
Theo LT nhiễu loạn bậc nhất năng lượng bổ chính được tính là: 
PhD. D.H.Đẩu 
85 
 Bài tập 19W- Tính hiệu chỉnh năng lượng trong nhiễu loạn bậc nhất 
Thay 2.69 vào 2.68 và tính bổ chỉnh năng lượng bậc nhất 
PhD. D.H.Đẩu 
86 
Bài tập 20: Tính tiếp mức bổ chính năng lượng 
Sử dụng công thức tính thế Coulomb: 
Chứng minh các giá trị trung bình của thế và của nhiễu loạn từ công thức 2.70 cho mức năng lượng Born có giá trị là 
PhD. D.H.Đẩu 
87 
Hướng dẫn 
Quay lại nghiệm tổng quát của bài toán Hydrogen theo 3 biến (chương ôn tập): 
Người ta chứng minh được hàm sóng theo n,l,m 
PhD. D.H.Đẩu 
88 
Thay các kết quả vào biếu thức 2.70: 
Tính năng lượng bổ chính bậc nhất 
Các vấn đề cần lưu ý là: sự hiệu chỉnh về tương đối tính 
Không tỉ lệ với E 2 mà nó tỉ lệ với yếu tố E 2 /mc 2 
PhD. D.H.Đẩu 
89 
Hiệu chỉnh năng lượng tương tác Spin electron và từ trường quỹ đạo 
Trong cơ học mômen Spin đặc trưng cho khả năng tự quay của electron quanh chính nó. 
Chỉ có hai khả năng của electron: quay theo chiều ngược Kim đồng hồ trục quay hướng lên 
Quay theo chiều cùng chiều Kim đồng hồ trục quay hướng xuống 
Spin down 
Spin up 
PhD. D.H.Đẩu 
90 
Năng lượng gọi là tương tác cậpSpin - quỹ đạo 
Năng lương này do electron tham gia chuyển động spin S tạo ra momen từ Spin  S 
Electron quay quanh nhân nên theo tính tương đối có thể xem electron đứng yên còn nhân quay quanh electron sinh ra dòng điện phân tử (do proton chuyển động) momen từ quỹ đạo (từ trường quỹ đạo B L ) 
Momen từ Spin  S đặt trong từ trường quỹ đạo B l sẽ tương tác sinh ra năng lương phụ: 
H=-  S B L (2.74) 
PhD. D.H.Đẩu 
91 
Bài tập 21 W 
Xác định từ trường quỹ đạo B L , giả sử nhân NGUYÊN TỬ Hydrogen có 1 proton (e, m hd =m e ) quay quanh electron ở bán kính r. Biểu diễn vector B theo vector momen xung lượng L 
PhD. D.H.Đẩu 
92 
Hướng dẫn 
Từ trường của dòng điện tròn tạo ra ở tâm là : B=  0 I/(2 R) 
 (R là bán kính quỹ đạo gần 0,5 A) 
I là độ lớn dòng điện = e.f 
Với f là tần số quay của electron 
 (Cho V e = 2,2 .10 8 cm/s) 
  0= 4 10 -7 (SI) 
PhD. D.H.Đẩu 
93 
Bài tập 22W 
Xác định biểu thức tường minh của năng lượng tương tác spin electron và từ trường quỹ đạo 
2.74 cho biết momen từ của electron là: 
Thực tế các tính toán là không chuẩn vì hệ qui chiếu gắn với electron là hệ không quán tính cần có sự hiệu chỉnh Thomas (giảm ½.) 
PhD. D.H.Đẩu 
94 
Review: Momen xung lượng toàn phần của electron 
Chuyển vế ta có: 
Trị riêng của tích L.S (2.77) có thể tính được là: 
PhD. D.H.Đẩu 
95 
Bài tập 22W 
Chứng minh giá trị kỳ vọng sau đây: 
PhD. D.H.Đẩu 
96 
Bài tập 23W 
Từ PT 2.76 hãy xác định gía trị H’ sau khi hiệu chỉnh Thomas: 
PhD. D.H.Đẩu 
97 
Nhận xét 
Xét các hiệu chỉnh tương đối tính và hiệu chỉnh cập Spin-quỹ đạo chúng đầu giống nhau hệ số tỉ lệ 
 Nếu cộng cả hai hiệu chỉnh vào năng lượng 	 ta có cấu trúc tinh tế hoàn chỉnh 
Và cấu trúc hoàn chỉnh tinh tế là: 
PhD. D.H.Đẩu 
98 
Kết hợp các mức năng lượng Borh 
Kết hợp với CT năng lượng Borh : Chúng ta tính được các mức năng lượng tinh tế của H 2 
Mức tinh tế phá vỡ suy biến có nghĩa là không phải cùng một mức năng lượng n ta có L trạng thái khác nhau. Nên xét chính xác các mức năng lượng là thay đổi theo các chỉ số n và j 
PhD. D.H.Đẩu 
99 
Phân tích các mức năng lượng 
PhD. D.H.Đẩu 
100 
Bài tập 24w 
Kiểm tra các hệ thức sau đây xem có giao hoán nhau không: 
Hint (L và S là thỏa hệ thức giao hoán) 
PhD. D.H.Đẩu 
101 
Bài tập 25 w 
Dẫn ra PT 2.79 từ công thức 2.73