Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 1: Các phương pháp toán nâng cao cho cơ lượng tử

PhD. D.H.Đẩu 
1 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO 
 Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ 
 Chương hai: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO CÁC NGUYÊN TỬ ĐƠN GiẢN 
 Chương ba : NHIỄU LOẠN DỪNG – Suy Biến 
 Chương bốn: CÁC ỨNG DỤNG CỦA NHIỄU L0ẠN 
PhD. D.H.Đẩu 
2 
 Chương một: CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN NÂNG CAO CHO CƠ LƯỢNG TỬ 
1. Ôn tập Đại số tuyến tính 
2. Biến đổi tuyến tính và Matrix biến đổi 
 Giải thích khái quát về tính thống kê 
 Nguyên lý bất định 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO 
PhD. D.H.Đẩu 
3 
Lecturer: 
Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com 
Tel: 84.71. 832061 
01277 270 899 
Giới thiệu môn học 
EP 
PhD. D.H.Đẩu 
4 
Trọng tâm chương 1 
Chương này trình bày các kiến thức toán nâng cao về đại số: 
Như vector – tích trong – phép biến đổi 
Vector, Ma trận 
Để tiếp cận với các phép tính phức tạp 
ở các chương sau vì thế cần Lưu ý: 
1- Thống nhất các ký hiệu 
2- Phương pháp tính toán cụ thể. 
PhD. D.H.Đẩu 
5 
1. Ôn tập: Đại số tuyến tính 
1.1 Không gian vector: là một tập hợp các vector được ký hiệu là: 
 kèm theo một bộ (cùng số phần tử với số vector) các giá trị vô hướng (thường là các số phức) : 
 Thỏa hai phép toán cộng vector và nhân vô hướng vector 
Phép cộng: 
Tính giao hoán 
PhD. D.H.Đẩu 
6 
Tính kết hợp 
Phép cộng có tính kết hợp: 
Tồn tại một vector không (Null vector) thỏa hệ thức: 
Mỗi vector khác không tồn tại một vector ngược : 
Tính khử nhau: 
PhD. D.H.Đẩu 
7 
Vector liên hiệp phức 
Là lấy liên hợp phức của các thành phần tạo nên vector: 
PhD. D.H.Đẩu 
8 
Phép nhân vector 
Phép nhân vector với vô hướng cho ra vector: 
Phép nhân của tổng vector có tính phân phối: 
Phép nhân tổng hai số với 1 vector có tính phân phối: 
Tính kết hợp: 
PhD. D.H.Đẩu 
9 
Bài tập 
Cho vector: 
PhD. D.H.Đẩu 
10 
Tổ hợp tuyến tính 
Tổ hợp tuyến tính: của một tập hợp Z các vector : 
được ký hiệu là: 
số chiều không gian là số vector trong tập Z 
Một vector gọi là độc lập tuyến tính với hệ Z khi chúng không thể biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của Z: 
Hệ Vector cơ sở của một không gian K: 
	là một bộ Z của các vector, sao cho bất kỳ vector đều được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong bộ Z. EX: trong hệ 3D Descartes ta có: 
PhD. D.H.Đẩu 
11 
Bài tập 1 W 
Vector đơn vị theo phương z trong hệ tọa độ Descartes 3D có độc lập tuyến tính trong không gian oxy hay không? 
Giải thích? 
Không gian của tổng 2 vector (một biểu diễn trong hệ KD và một biễu diễn trong hệ 3D) sẽ có số chiều là bao nhiêu? Giải thích? 
Không gian ảo 
Độc lập tuyến tính 
K chiều (KD) 
PhD. D.H.Đẩu 
12 
Bài tập 2 W 
Cho các vector: 
PhD. D.H.Đẩu 
13 
Chiều của không gian 
Chiều của không gian là số vector cấu thành, với hệ nD 
Vector khác không viết trong hệ nD – là ma trận một hàng và n cột: 
Cộng hai vector khác không trong hệ nD là cộng 2 ma trận 
Và vector 
không: 
PhD. D.H.Đẩu 
14 
Bài tập 3 w 
Xét một vector 3 chiều 
Các thành phần a n là phức 
a) Các vector có thành phần 
a z =0 có tập hợp thành không 
gian vector không? Nếu có thì 
chiều của nó là bao nhiêu ? 
b) Các vector có các thành phần 
a n bằng nhau có tập hợp thành 
Không gian vector không? 
Cho Ví dụ 
Có – 1 D 
PhD. D.H.Đẩu 
15 
Bài tập 4 W 
Xét tập hợp các đa thức bậc n (n< N) của x có các hệ số phức. 
a) Các đa thức đó có tạo nên một không gian vector không? Vector cơ sở được cấu thành như thế nào cho thuận tiện? Số chiều của không gian này là bao nhiêu? 
b) Điều kiện để đa thức là hàm chẳn và là hàm lẻ ? 
c) Điều kiện để hệ số trước x n có giá trị bằng 1.0 
d) Điều kiện để đa thức bằng 1 khi x=0 và bằng 0 khi x=1. 
PhD. D.H.Đẩu 
16 
Hương dẫn 
Đa thức bậc n: a 0 + a 1 X + a 2 X 2 ++ a n X n 
Không gian :.? Chiều 
Vector cơ sở chọn: 
Hàm chẳn : F(x) =F(-x) 
Hàm Lẻ: F(x) = -F(x) 
PhD. D.H.Đẩu 
17 
Bài tập 5W 
Cho biết 
PhD. D.H.Đẩu 
18 
Ôn Đại số - Tích trong 2 vector 
Trong KG 3 chiều, có 2 loại tích vector là tích vô hướng và 
tích có hướng. Tổng quát tích trong 2 vector trong nD: 
Tích trong của 2 vector là xác định 
mặc dù không gian của 2 vector có thể 
là không cùng số chiều 
Lưu ý: tích trong của 2 vector giống nhau là một số dương nên căn bậc 2 của nó (gọi là Norm-modune) là số thực 
PhD. D.H.Đẩu 
19 
Tích trong 2 vector 
Trực giao: Hai vector là trực giao khi tích trong của nó =0 
Trực chuẩn: là một bộ các vector đều trực giao nhau và mỗi 
Vector có Modune =1 
Nếu chọn một cơ sở vector trực chuẩn e và khai triển vector theo các thành phần e, thì tích trong 2 vector là: 
Và Bình phương modune là: 
PhD. D.H.Đẩu 
20 
Bài tập 7 w 
Viết tường minh tích trong của 2 vector từ đó chứng minh bất đẳng thức Schwarz 
Hint 
PhD. D.H.Đẩu 
21 
Bài tập 6: Tích trong 2 vector 
a) Tính: 
b) Tính: Modun của 2 vector trên 
PhD. D.H.Đẩu 
22 
Bài tập 8 - W 
Cho hai vector 
a) Tìm các giá trị m, n để hai vector trên là trực giao ? 
b) Với các giá trị m, n bằng bao nhiêu thì tích trong của hai vector đó là bằng 1.0 
PhD. D.H.Đẩu 
23 
Góc giữa 2 vector 
Các hệ số a 1 a n của một vector được tính lại là: 
Góc hợp bởi 2 vector được tính bởi: Hệ thức Schwarz: 
PhD. D.H.Đẩu 
24 
Bài tập 9 w: Góc giữa 2 vector 
Dùng hệ thức Schwarz: xác định góc của 2 vector 
b) Chứng minh bất đẳng thức của tam giác 
PhD. D.H.Đẩu 
25 
2. Phép biến đổi tuyến tính 
Biến đổi : Là thay đổi một vector thành một vector khác trong cùng một không gian vector . Sự thay đổi do tác nhân của một toán tử T được viết: 
Ví dụ: 
Thế nào là biến đổi tuyến tính: Toán tử là toán tử tuyến tính: Nếu có 2 số khác không là a và b và 2 vector thì: 
PhD. D.H.Đẩu 
26 
Bài tập 10 
Hãy cho biết các dạng toán tử sau đây có tạo ra phép biến đổi tuyến tính cho vector không? 
1-Nhân vector (3D) với một số phức khác không 
2-Quay một vector (3D) quanh trục ox hoặc oy. 
PhD. D.H.Đẩu 
27 
2. Phép biến đổi tuyến tính 
Vì khi T tác dụng lên một vector nó cho ra một vector mới, nên khi T tác dụng lên các vector cơ