Bài giảng Cơ học kết cấu - Chương 4: Cách xác định chuyển vị trong hệ thanh đàn hồi tuyến tính - Võ Xuân Thạnh

Chương 4
CÁCH XÁC ðỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ 
THANH ðÀN HỒI TUYẾN TÍNH
BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO
TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI
-------------------
BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU
ThS. VÕ XUÂN THẠNH
I/. Khái niệm 
1/. ðịnh nghĩa:
Biến dạng là sự thay ñổi hình dạng, kích thước
của các phân tố dưới tác dụng của tải trọng 
hoặc các tác ñộng của các nguyên nhân khác
Biến dạng của một công trình là do kết quả
biến dạng của các phân tố trong các cấu kiện 
của công trình 
2
Chuyển vị là sự thay ñổi vị trí của các ñiểm trên 
công trình khi công trình bị biến dạng 
Một phân tố trong công trình có 3 khả năng:
•Không chuyển vị mà có biến dạng (xét phân tố A)
•Có chuyển vị và có biến dạng (xét phân tố 2)
•Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (xét phân tố 3)
A 2 3
3
2/. Phân loại chuyển vị:
•Chuyển vị thẳng của một ñiểm 
•Chuyển vị xoay của tiết diện tại 
một ñiểm ñang xét 
a/. Các nguyên nhân gây ra chuyển vị:
•Tải trọng tác dụng 
•Sự thay ñổi của nhiệt ñộ
•Sự chuyển vị cưởng bức của các gối tựa
4
K
K’
ϕ
• II/. Vận dụng biểu thức thế năng ñể xác ñịnh 
chuyển vị : 
• 1/.Cách tính trực tiếp từ biểu thức thế năng:
• Cách tính nầy chỉ áp dụng tính chuyển vị tại vị
trí lực tập trung P
Vậy : 
P
UPTU 2.
2
1
=∆⇔∆==






−−−−=−= ∑∫∑ ∫∑∫ dsEF
Nds
GF
Qds
EJ
MAU
222
*
222
υ






++=∆ ∑∫ ∑∫∑∫ dsEF
Nds
GF
Qds
EJ
M
P 222
2 222
υ
5
P
z
PzM −=
l
( )
EJ
Pldz
EJ
Pz
P
ds
EJ
M
P
l
32
2
2
2 3
0
22
=
−
=





=∆ ∫∑∫
Ví dụ : 
6
2/. Cách xác ñịnh theo ñịnh lý Castiglinato:
Phát biểu ñịnh lý: ñạo hàm riêng thế năng biến 
dạng ñàn hồi theo lực Pk nào ñó sẽ bằng chuyển vị 
tương ứng với phương và vị trí của lực Pk ñó
k
k P
U
∂
∂
=∆






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆ ∑∫∑ ∑∫∫ dsP
N
EF
Nds
P
Q
EG
Qds
P
M
EJ
M
kkk
k ... υ
7
P
z
PzM −=
l
( ) ( )
EJ
Pldzz
EJ
Pzds
P
M
EJ
M l
k 3
3
0
=−
−
=





∂
∂
=∆ ∫∑∫
Ví dụ: xét ví dụ trước 
8
* Chú ý: 
• Nếu thì chuyển vị cùng chiều với Pk và 
ngược lại 
• Nếu tải trọng là lực phân bố có thể thay thế
bằng lực tập trung ñể tính 
• Trường hợp Pk là mô men tập trung thì chuyển 
vị tương ứng là chuyển vị xoay 
• Nếu cần tìm chuyển vị tại vị trí nào ñó thì có thể 
ñặt thêm lực Pk tại vị trí ñó. Sau khi xác ñịnh 
ñược chuyển vị thì cho Pk =0 sẽ ñược kết quả
cần tìm
0>∆k
9 10
III/. Công thức tổng quát xác ñịnh chuyển vị của 
hệ thanh ( công thức Maxwell-Morh 1874)
a/. Ký hiệu chuyển vị : Pk
Trạng thái “k”
q
Trạng thái “m”
1/. Công thức 
( ) dsM
h
ttdsNt
ds
EF
NNds
GF
QQds
EJ
MM
zRP
k
mm
kcm
mkmkmk
jmjkkmk
∑∫∑∫
∑∫∑∫∑∫∑
−
+
+++=+∆
12
.
α
α
υ
Chia 2 vế cho Pk , ta có :
( ) dsM
h
ttdsNt
ds
EF
NNds
GF
QQds
EJ
MM
zR
k
mm
kcm
mkmkmk
jmjkkm
∑∫∑∫
∑∫∑∫∑∫∑
−
+
++++−=∆
12
.
α
α
υ
11
12
Là chuyển vị tại liên kết j ở trạng thái “m”
jmZ
Là phản lực tại liên kết j tương ứng với 
chuyển vị do lực Pk=1 gây ở “k”
jmR
jmZ
0. >jmjm ZR Khi và cùng chiều jmZ jmR
mmm NQM ,, Nội lực ở trạng thái “m”
kkk NQM ,, Nội lực ở trạng thái “k” do Pk =1 gây ra 
+
+
+
+
+
* Các chú ý 
+ công thức Morh chỉ áp dụng cho hệ gồm 
những thanh thẳng hoặc cong với ñộ cong bé
5
1≤
r
h
+Khi tính hệ ở trạng thái ‘’k’’ chỉ cần ñặt lực Pk =1 
+ nếu cần tìm chuyển vị thẳng thì Pk là lực tập trung 
+ nếu tìm chuyển vị góc xoay thì Pk là mô men tập 
trung
13
+ nếu kết quả 0>∆km Thì chuyển vị cùng chiều với 
Pk ñã giả ñịnh và ngược lại 
14
2/. Vận dụng công thức Morh vào các bài toán 
chuyển vị
a/. Hệ dầm và khung chịu tải trọng 
Trong hệ dầm và khung chịu ảnh hưởng của 
biến dạng ñàn hồi dọc và trượt là rất nhỏ so với 
biến dạng uốn , nên trong tính toán thường cho 
phép bỏ qua ảnh hưởng của chúng ,
lúc nầy ta có
15
Ví dụ 2.1 : xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tại B . 
Cho biết ñộ cứng của thanh dầm E.J =const
16
Giải :
17
Ví dụ 2.2 : xác ñịnh chuyển vị ngang tại B , cho biết 
ñộ cứng của các thanh là như nhau và EJ = const
18
19
b/. Hệ dàn khớp chịu tải trọng 
Trong hệ dàn , các thanh chỉ tồn tại lực dọc , nên: 
Các ñại lượng F.E,N,N mk
Thường bằng const ñối với từng thanh dàn . Suy ra:
20
Ví dụ 2.3: Xác ñịnh chuyển vị
nằm ngang tại mắt dàn số 5, 
cho biết ñộ cứng trong các 
thanh dàn là như nhau và
EF= const
21
Giải 
22
Trạng thái “m”
Xác ñịnh Nim. Kết quả thể hiện 
trong bảng 
Trạng thái “k”
Xác ñịnh Nik. Kết quả thể hiện 
trong bảng 
∑= i
i
imik l
EF
NN
x5
( ) 02611 >+==∆ ∑ EFd.plEFNN imikkm
23
c/. Hệ tĩnh ñịnh chịu chuyển vị cưỡng bức tại các 
gối tựa:
Nguyên nhân nầy không gây ra nội lực trong hệ
tĩnh ñịnh nên N=M=Q= 0, nên : 
24
Ví dụ 2.4: xác ñịnh ñộ võng tại B và góc xoay tại C 
25 26
[ ] [ ] ϕϕϕ .2.1.2.. aaVMZRy AAjmjkB −∆=∆−−=∆−−−=−= ∑
27
d/. Hệ tĩnh ñịnh chịu biến thiên nhiệt ñộ:
Nguyên nhân nầy cũng không gây ra nội lực 
trong hệ tĩnh ñịnh 
28
Nếu constt,t,h, mm =α 12 trên từng ñoạn thì :
T2m ,t1m ,tcm là biến thiên nhiệt ñộ thớ dưới , thớ
trên và thớ giữa của thanh 
( ) ( )kk N,M ΩΩ Là diện tích của biểu ñồ ( ) ( )kk N,M
trên từng ñoạn thanh 
( ) ( )kk N,M ΩΩ lấy dấu theo dấu của biểu ñồ ( ) ( )kk N,M
29
Ví dụ 2.5: xác ñịnh ñộ võng tại tiết diện k của hệ
cho trên hình vẽ , cho biết 
cmh;cmh;C).,( BCABo 20301021 15 ===α −−
30
Giải
31
VI/. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu ñồ
(Veraxaghin)
1/. Công thức tính chuyển vị :
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )mkmkmkkcmkmmjmjkkm QQNNMMNtMtthzR +++Ω+Ω−+−=∆ ∑∑∑ .. 12 α
α
kkk NQM ,, Là các biểu ñồ nội lực do ñơn vị Pk=1gây ra cho hệ trong trạng thái ”k”
mmm N,Q,M Là các biểu ñồ nội lực do riêng tải trọng (ñã cho)
gây ra cho hệ trong trạng thái ”m”
32
constt,t,h, mm =α 12 trên từng ñoạn thì:
Chú ý :
Các ñại lượng 1/EJ ; 1/EF ; 1/GF tuy không viết 
trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn 
tại, khi tính phải thêm các ñại lượng ñó vào 
Trong biểu thức không viết dấu ∑
nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu ñồ trong 
toàn hệ